混凝土梁配筋计算的增量纲通用图表法

混凝土梁配筋计算的增量纲通用图表法

现在，基于“等式矩形应力”的计算，将具有束分布的应力作为等式矩形的应力分布，并根据肥力和力的点的变化来确定。为此《混凝土结构设计规范(GB50010-2002)》(以下简称《规范》)采用了高度换算系数β1和合力系数α1,而这两个系数对于C50级以下的混凝土是以受压边缘应变为定值,即εcu=-0.0033时的应力分布推导而来的。若取边缘应变为其他不同的值,将会得到与之相应的不同的换算系数β1和α1。虽然在《规范》7.1.2条中给出了完整的混凝土应力-应变关系曲线,其混凝土应变可在0―-0.0033之间变化,而在我们目前的配筋计算方法中仅能用到这关系曲线中的一点,即混凝土极限应变εcu=-0.0033,而其余的应变无法采用,否则将出现众多的换算系数β1和α1而无从选择。在图1中可清楚地看到目前的计算方法所许可的混凝土及钢筋的应变变化范围,即区域(2),在这区域内混凝土应变固定不变,而受拉钢筋应变可从屈服应变εy到极限应变εsu=0.01之间变化。在区域(1)中混凝土应变是变化的,不便进行等效矩形应力变换,也就是说,目前的计算方法缺少了区域(1),只适用于区域(2),是不够完整的。只能用区域(2)会带来一不合理的现象,即区域(1)内的受压区高度变成了“禁区”,因受压区高度在区域(1)时,而混凝土应变又要固定为0.0033,钢筋应变将超过0.01,这一“禁区”的受压区临界高度为x=0.248h0(见图1,注:这里的受压区x是中性轴高度,而《规范》中的x是换算的等效矩形应力图的高度,以示区别在本文中用x′表示),要使受压区高度x0.248h0,就必须满足x′0.2h0。若考虑到抗震设计的相关规定,如抗震等级为一级的构件则要求其受压区高度x′0.25h0,这样剩余允许设计选用的受压区高度仅有0.05h0,要在实际运用中做到这一点是困难的。要消除这一不合理现象,就要取消这一“禁区”,对此途径有两条:1)保持εc=-0.0033,允许εs>0.01;2)保持εs0.01,让混凝土边缘受压应变在0εc-0.0033的范围内(区域(1)内)变化,扩展和完善目前的计算理论。后者更符合实际受力时观察到的应变变化情况,因受压区高度小,边缘受压应变也小,相应的应力和曲率也小,混凝土强度和曲率都还没有充分发挥到极限,这正是考虑抗震设计时,要求受压区高度不能过大的缘故。要遵循《规范》第7.1.2条受拉钢筋极限应变不超过0.01,就要求受压区高度不能过小;要遵循《规范》第11.3.1条规定,则要求受压区高度不能过大,这两条规定相互是不协调的和需待解决的。图1还绘出了区域(3),在这区域钢筋应变小于屈服应变,超筋梁或小偏心受压柱的受拉钢筋应变属于这一情况。目前我国还没有一种计算方法能将这三个区域很好地连续起来[3―8],这就是本文要做的突破。下面就本文介绍的方法和推导的公式做一介绍。1混凝土边缘应力在区域(1)混凝土应变可分为两种情况:1)混凝土边缘应变0>εc>-0.002时,应力分布为抛物线;2)混凝土边缘应变-0.002>εc>-0.0033时,应力分布为矩形+抛物线。下面就这两种情况下的计算公式进行推导。1.1试验结果的计算在这区域受压区混凝土的应变和应力分布见图2。混凝土边缘受压应变在这一区域大于-0.002,混凝土压应力的分布为抛物线,可用规范的公式(7.1.2-1)来计算其应力的大小,将《规范》公式(7.1.2-1)化简后得:将受压区的应力积分得混凝土受压合力C(注:本文所有公式中的应变值均为千分数):式中为区域(1)的压应力不均匀系数。若将混凝土受压区合力对混凝土受压边缘取矩,得:由式(2)和式(3)得混凝土受压合力点至受压边缘的距离:式中ka为区域(1)的混凝土受压合力的位置系数。1.2混凝土受力分析在图3中同样绘出了混凝土受压区的应变和应力分布,这时混凝土的应力分布为矩形加抛物线。式(5)和式(6)给出了相应的几何关系。由下式得混凝土受压区的合力大小:式中为区域(2)的压应力不均匀系数,当εc=εcu=-3.3‰时,αc=0.798。将混凝土受压区合力对受压边缘取矩,得:由式(7)和式(8)得到混凝土受压合力点至受压边缘的距离:式中ka为区域(2)的混凝土受压合力位置系数,当εc=-3.3‰时,ka=0.412。在图4中给出了系数αc和ka随混凝土边缘受压应变的变化规律。1.4安全生产的计算方法利用弯矩平衡条件,对受拉钢筋合力点取矩,得:如果将式(12a)展开,即可得到一个以钢筋应变(εs)或以混凝土边缘压应变(εc)为变量的二次方程:若将区域(1)中的εs=10‰、αc、ka代入式(12b)则得到一个以混凝土边缘压应变为变量的高次方程;若将区域(2)中的εc=-3.3‰、αc=0.798、ka=0.412代入式(12b)则得到一个以钢筋应变为变量的二次方程:解得区域(1)中高次方程的混凝土边缘压应变(εc)或解得区域(2)中的二次方程的钢筋应变(εs)后,都可相继解得各区域的kx和kz,之后再由关系Asfy=M/(kzh0)可得到所需的钢筋面积。这样需要求解二次或高次方程,使得计算不便。为了方便和快速计算,可制成图表直接查用。制成图表的思路如下。将式(12a)两端除于bh02fc得无量纲抵抗弯矩mR:将作用弯矩设计值M也无量纲化(m=M/bh02fc),并使之与抵抗弯矩相等,便得到下面的设计表达式:从等式(13b)可以看到:无量纲抵抗弯矩只与系数αc、系数kx、系数kz有关,而这些系数又只与应变εc和应变εs有关,现在只需在混凝土应变和钢筋应变允许值的范围内给予不同的值,就可算出系数αc、系数kx、系数kz和mR或m。在图6中绘出了这些系数kx、系数kz以及受拉和受压钢筋及混凝土应变εs、应变εs′、应变εc随无量纲弯矩m的变化关系。图6中可清楚地看到:内力臂系数kz及受拉钢筋应变εs随弯矩的增长而减小,受压区高度系数kx和混凝土边缘应变的绝对值则随弯矩的增长而增大。为了了解混凝土受压合力随m的变化情况,将该合力无量纲后(nC=C/bh0fc)也绘在图6中。同时还可清楚地看到区域(1)、区域(2)、区域(3)各自的范围,因不同钢筋级别有不同的的屈服应变,他们的右边界也有所不同,他们的边界分别在对应他们的屈服应变(HPB235:εy=1.0‰;HRB335:εy=1.5‰;HRB400:εy=1.8‰)的竖直线上,同时也是单筋梁的边界线,在边界处的无量纲弯矩用星号标记为m*,他们分别是单筋梁的极限弯矩,若作用弯矩大于带星号的弯矩,则说明对于梁来说需要设置受压钢筋或需增大截面尺寸了,对于柱已进入了小偏心受力状态。1.5钢筋应力应变值钢筋面积的求解有单筋或双筋,截面是否有轴力存在等情况,其相应的配筋计算如下。1)单筋。若截面上没有轴力作用时,由截面的弯矩平衡条件(对受压合力点取矩)得下式:式中z=kzh0,kz可在图6中查到,受拉钢筋面积则为:在区域(1)、区域(2)内,受拉钢筋应变均达到或超过了屈服应变,式(15)中钢筋应力为σs=fy,在区域(3)内(小偏心受压),受拉钢筋应变则小于屈服应变,钢筋应力为σs=Esεs,εs可在图6中查到。若截面上作用有轴力时(如图7所示),应首先将其移至钢筋合力处,见式(16),轴力的正负号规定为:拉力为正,压力为负,然后用弯矩Ms计算无量纲弯矩m,再由m查得对应的kz,最后再根据式(17)计算钢筋面积:2)双筋。在截面上没有轴力的情况下,需要设置受压钢筋时,为减小钢筋的总用量,充分利用混凝土的强度,可让超越单筋梁极限弯矩的部分ΔM(见下式)由受压钢筋和其相应的受拉钢筋来承担:与之相应所需的受压钢筋为:受拉钢筋为:若还有轴力时,先计算Ms,再求受拉钢筋:有时当受压钢筋设置过多时,混凝土受压区高度会相应减小,为保证受压钢筋能屈服,《规范》规定x2as′,这只是一近似的处理手法,利用图6可精确地确定受压钢筋正好达到屈服应变时的受压区高度(见算例4)。2纯弯构件混凝土配筋设计例题1.纯弯构件(区域(1))。有一受弯构件,断面为:b×h=250mm×500mm,弯矩设计值为M=70.34×106N⋅mm。受拉钢筋选为HRB335,混凝土强度等级选用C30。试分别按《规范》和按本文介绍的无量纲通用图表法计算配筋。1)按《规范》:2)按无量纲通用图表法:查图6得:kz=0.95(εs=10‰,εc=-1.8‰)例题2.纯弯构件(区域(2))。弯矩设计值改为M=213.35×106N⋅mm,其余条件同例题1。试分别按两种方法计算配筋。1)按《规范》:2)按无量纲通用图表法:查图6得:kz=0.83(εs=4.6‰,εc=-3.3‰)例题3.纯弯构件双筋梁(区域(2))。一梁断面为:b×h=250mm×450mm,钢筋HRB335,混凝土C30。事先设有受压钢筋4φ25,as′=as=40mm弯矩设计值为M=308.74×106N⋅mm,试分别按两种方法计算配筋。1)按《规范》:2)按无量纲通用图表法:由as′/h0=40/365≈0.10,在图6可查得受压钢筋刚好屈服时(εs′=-1.5‰)对应的参数m=0.151、0.91zk=、10sε=‰、2.8cε=-‰,混凝土与相应的受拉钢筋能承担的弯矩为:所需的钢筋面积为:将两种方法的配筋面积作一比较,可看到:按《规范》方法多出了10.5%。其原因是《规范》法中x2as′是一近似处理方法,而无量纲通用图表法可准确地根据不同级别钢筋的屈服强度查得相对应的参数以确定配筋。例题4.压弯构件(区域(2),大偏心)。有一框架梁(b×h=300×500mm2),内力设计值为M=324×106N⋅mm,N=-400kN(压力),ea=0,η=1.0。受拉钢筋级别为HRB335,混凝土强度等级为C35。试分别按两种方法计算配筋。1)按《规范》:按大偏心受压构件计算:(1)求sA′:不需要受压钢筋,则按单筋梁计算。(2)求sA:2)按无量纲系数法:查图6得:kz=0.74(εc=-3.3‰,εs=1.8‰)作者原打算对区域(3)(小偏心)也作一例题进行比较,由于《规范》中在计算受拉钢筋应力时做了近似简化,其简化公式有错误的地方,由于篇幅,将在以后的文章中作专题讨论。3计算方法的特点《规范》采用了等效矩形应力图,在换算成等效矩形应力图时,要同时满足换算后的受压区合力大小及合力点位置与换算前相同[9―10],就必须将混凝土抗压强度(fc)乘以系数1α=0.798/0.824=0.968加以折减,而《规范》为了简化计算,取α1=1.0,这就使得按《规范》计算的受压合力比精确值大了0.25%;而对于换算后的受压区高度《规范》取0.8倍的中性轴高度x,这就意味着合力点至受压区边缘的距离为0.4x,而精确值是0.412x,按《规范》计算的混凝土受压合力点位置比精确值大了2.9%,因此按《规范》计算出的配筋要比本文方法的精确值略小,在以上的例题中也证实了这一点。概括起来,本文的计算方法具有以下特点:(1)可完整的利用混凝土受压应力-应变关系,而在目前计算方法中仅能利用极限应变(εcu)。(2)受压区应力分布遵循《规范》7.1.2条给出的应力-应变关系,不需等效矩形换算,得到的是精确解。(3)本文计算方法解决了《规范》7.1.2条和11.3.1条间的不协调之处。能自动满足《规范》第7.1.2条εsu≤0.01的要求。(4)在图1中的3个应变区域可用相同的公式进行计算。可计算纯弯、拉弯、压弯构件的配筋。(5)采用无量纲形式,使得不同级别的混凝土和钢筋可用同一张图表计算,让实际运用变得非常方便,计算简单,并且计算中除了得到计算配筋所需的内力臂系数(kz)外,还可同时得到其他相关有用的信息,如受压区高度系数(kx),受压混凝土合力系数(cn),受拉和受压钢筋以及混凝土应变(εs,εs′,εc)等。可做到在设计时,始终知道εc和εs的大小,并还能将它们随m的变化用曲线直观地表示出来,了解其变化规律。结果一目了然。(6)查图表时可直接看到单筋梁的适用范围,无需进行受压区高度验算。计算双筋梁时,无需以保证受压钢筋能屈服的x2as′的近似规定,可直接按受压钢筋的屈服应变查到相关的计算参数。计算大小偏心构件时,无需事先粗略判断或假设,事后来确证是大偏心还是小偏心。使得计算简化和快速。(7)按《规范》计算时,有实际与换算受压区高度之别,而本文方法中的受压区高度是实际的中性轴高度,不会引起任