直线与平面垂直(单元教学设计)

直线与平面垂直(单元教学设计)一、单元教学内容和内容解析1．内容第1课时：直线与平面垂直的概念及判定定理、点到平面的距离及直线与平面所成的角．第2课时：直线与平面垂直的性质定理、直线到平面的距离及两平行平面间的距离．2．内容解析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直的位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，是研究空间中的直线与直线垂直关系和平面与平面垂直关系的中介．直线与平面垂直也是定义点到平面的距离、直线和平面所成的角、直线到平面的距离与两个平行平面之间的距离等内容的基础，具有承上启下的作用．直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法．直线与平面垂直的判定定理把定义中要求的与任意一条直线垂直转化为只要求与两条相交直线垂直，其中蕴含了由复杂向简单、由无限问题向有限问题、由直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体现了以简驭繁的策略．直线与平面垂直的性质定理，考察的是在直线与平面垂直的条件下，与之相关的直线、平面之间的位置关系．与它们直接相关的是直线和平面内的直线的位置关系，而根据直线和平面垂直的定义，直线和平面内所有直线都垂直，由此想到需要研究它们与其他直线和平面的关系．教材证明了如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a，b一定平行，既揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，又给出了判定两条直线平行的一种方法．基于以上分析，确定本节的教学重点为：直线与平面垂直定义的抽象与归纳；直线与平面垂直判定定理的发现与验证；直线与平面垂直的性质定理的应用．二、单元教学目标和目标解析1．目标（1）理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面所成的角的概念．（2）探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题，能求简单的直线与平面所成的角．（3）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的转化思想．（4）在探究直线与平面垂直的性质定理的过程中，感悟“正难则反”的证明思路，感悟“平行”与“垂直”的相互转化．（5）了解直线到平面的距离以及两个平行平面间的距离，完善棱柱、棱台中高的概念．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生通过实例直观感知、操作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；知道点到平面的距离、直线和平面所成的角的概念，会在具体情境中找出并表示．达成目标（2）的标志是：学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂直的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理与直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角．达成目标（3）的标志是：学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用；知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等；能认识到“直线与平面垂直的判定”与“直线与平面平行的判定”在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般思路和方法．达成目标（4）的标志是：能结合实例感知得出结论，能在教师的引导下，推导出与客观事实相违背的谬论，能自行提出一些与平行、垂直相互转化有关的命题并对其进行证明．达成目标（5）的标志是：能说出直线到平面的距离以及两个平行平面间的距离的定义，理解定义背后的理由，能在具体图形中识别或作出几何体的高．三、教学问题诊断分析虽然学生有直线与直线垂直和直线与平面垂直的生活经验和感知，但由于他们把空间问题转化为平面问题来解决的意识和能力还不强，因而他们对于如何借助直线与直线垂直来刻画直线与平面垂直还会遇到困难，更难用确切的数学语言刻画直线与平面垂直．考虑到学生已有用“任意一个”来代替所有对象的数学经验，如“所有实数的平方都是非负数”与“任意一个实数的平方都是非负数”，教学时可在教师的提示下由学生自己得到直线与平面垂直的定义．对于直线与平面垂直的判定定理，学生通过探究和动手实践，会初步认识到当直线与平面内两条相交直线垂直时，直线与这个平面垂直．但在缺少逻辑推理的情况下，如果马上把这个猜想作为定理来对待，学生可能会怀疑结论的正确性．教学时需要引导学生通过亲身的反复验证并结合直线与平面垂直的定义进行思辨来解决以上问题，也可以结合平面向量基本定理，让学生体会利用“两条相交直线”来判断的合理性．对于直线与平面垂直的性质定理的证明要用到反证法，而学生对反证法不太熟悉，因此教学中教师应进行适当引导．本节的教学难点是：发现并验证直线与平面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直的性质定理．四、教学过程设计第1课时直线与平面垂直的判定定理（一）课时教学内容1．直线与平面垂直的定义．2．直线与平面垂直的判定定理．3．直线和平面所成的角．（二）课时教学目标1．了解直线与平面垂直定义，掌握直线与平面垂直的判定定理．2．理解直线和平面所成的角的概念，并能计算给定直线和平面所成的角的大小．（三）教学重点与难点教学重点：直线与平面垂直的判定定理．教学难点：直线和平面所成的角，直线与平面垂直的判定定理的应用．（四）教学过程设计（1）探究、建构直线与平面垂直的定义问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，图1中旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．那么什么叫做直线与平面垂直呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直（图2）？师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示．追问1：如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？追问2：旗杆所在直线AB与是否与平面内所有直线垂直（图4）？由此，你能用简洁的语言给出直线与平面垂直的定义吗？师生活动：教师提出问题（可以借助信息技术呈现旗杆影子随时间变化的位置变化），学生容易得出旗杆所在直线与其影子所在直线保持垂直，这也就说明旗杆所在直线和地面所在平面内的无数条直线垂直．对于直线AB与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系．由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直．这样，就可以归纳出直线与平面垂直的定义．追问3：直线与平面垂直的定义中，“任意”能改为“无数”吗？也就是说，如果直线与平面内无数条直线垂直，能说直线与平面垂直吗？师生活动：教师提出问题，引导学生举出反例（图5）．设计意图：开门见山引入如何用数学语言刻画生活中的直线与平面垂直的问题，既激发学生的学习兴趣，又引导学生通过观察、对比与思考，把直观、模糊的感知抽象化、确切化．接下来“顺势紧逼”，引导学生抽象概括出直线与平面垂直的定义．再通过正反两方面情况的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数”，即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解．问题2：在得到直线与平面垂直的定义后，为了表述与研究的方便，你觉得还有哪些辅助性的概念需要建立?师生活动：教师引导学生，结合直线和直线垂直的相关概念，给出垂线、垂面、垂足等概念，给出直线与平面垂直的图形表示（如图6）．设计意图：建立平面的垂线、直线的垂面、垂足等相关概念，知道直线与平面垂直的符号表示，同时让学生理解学习数学概念的“基本思路”．问题3：我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而给出垂线段、点到平面的距离的概念．顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离．设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质．既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫．（2）探究、发现直线与平面垂直的判定定理问题4：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？师生活动：教师提出问题，并引导学生进行如下的探究活动：如图7，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．并请学生思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？进而获得猜想：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么该直线与平面垂直．追问1：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？师生活动：教师引导学生从基本事实的推论2和平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步做出解释．追问2：为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直，而不是“两条平行直线”或“三条两两相交直线”或“无数条直线”呢？师生活动：教师提出问题，引导学生进行探究，可以举出反例说明，也可以结合平面向量基本定理说明．设计意图：引导学生有条理地进行探究．通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想．按照《课程标准（2017年版）》的要求，这一定理在本章不要求证明，而是在选择性必修课程“空间向量与立体几何”中进行证明．但在此处可以结合实践操作举出反例以及通过平面向量基本定理对此判定定理的正确性进行说明．为此可以在学生探索出判定定理的猜想后通过追问提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性．结合判定定理的得出过程，可以让学生进一步体直线与平面垂直向直线与直线垂直的转化，体会直观感知、操作确认、思辨论证的研究立体几何的一般过程，发展直观想象素养．问题5：试分别用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理，并举例说明它在日常生活中的应用．设计意图：实现图形语言、符号语言、文字语言之间的转换是让学生进一步理解判定定理的需要，也是发展学生逻辑思维的需要．而举例说明它的应用则有助于学生更好地理解判定定理．图形语言：符号语言：（3）巩固运用直线与平面垂直的判定定理例3求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．追问1：你能根据条件与结论画出示意图，写出已知、求证吗?追问2：结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可．在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线，再利用“两条平行直线中的一条垂直于某一直线，则另一条也垂直于这一条直线”进行转化．教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程．学生交流，教师反馈，共同完成证明．追问3：你还有不同的证明方法吗？师生活动：学生尝试用直线与平面垂直的定义证明这个例题，然后交流．设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键．通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明这一不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性．在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法：一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明．（4）直线与平面所成的角及其应用问题6：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，如图8，可以发现，不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？师生活动：教师提出问题，给出斜线的概念．引导学生利用发现，斜线与平面相交的位置关系的不同在于它们相对于平面的“倾斜程度不同”．进而给出直线与平面所成的角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系．设计意图：引出直线与平面所成的角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念．师生活动：教师引导学生对题目进行分析，从要解决的问题出发，要求直线和平面所成角，需要找到这条直线在平面上的射影；而要找到射影，需要找到这个平面的垂线；再利用直线与平面垂直的判定定理解决此问题．师生共同分析解决问题的思路，学生完成题目求解再进行交流．解题过程略．设计意图：通过例题教学，巩固直线和平面所成的角的概念以及直线和平面垂直的判定定理．结合题目的分析，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生形成从特殊情形入手解决问题的习惯．追问：直线l与平面α上不是它的射影的直线所成的角（记作β）与l和α所成的角（记作θ）的大小关系是什么？你能定量给出斜线和平面任意一条直线所成的角φ、斜线和平面所成角θ、斜线的射影和该直线所成的角β这三个角度的余弦值之间的关系吗？（5）归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学到这些知识的？（2）直线与平面垂直的定义与判定和前面学过的直线与平面平行的定义与判定在知识结构、思想方法等方面有哪些共同点和不同点？（3）请对本节课的学习情况做一个简单的自我评价，并寻找学习中存在的问题与不足．设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一步体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法．（6）布置作业教科书第152页练习第1，2，4题．（五）目标检测设计1．如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB．设计意图：考查直线与平面垂直的判定定理．2．如图，直四棱柱ABCD-A′B′C′D′（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？设计意图：考查学生“直线与直线垂直”与“直线与平面垂直”相互转化的能力．3．已知∠BAC在平面α内，P不属于α，∠PAB=∠PAC．求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的角平分线或其反向延长线上．设计意图：考查学生灵活运用直线与平面垂直的定义与判定定理的能力、空间想象能力和分析与解决问题的能力．本题可供学有余力的学生选择使用．8.6.2直线与平面垂直（第2课时）（一）课时教学内容直线与平面垂直的性质定理．（二）课时教学目标1．掌握直线与平面垂直的性质定理的探究过程，了解“反证法”在立体几何证明中的应用．2．了解“直线到平面的距离”以及“两个平行平面间的距离”这两个概念，能准确认识棱柱、棱台的高，能推导棱台的体积公式．（三）教学重点与难点教学重点：直线与平面垂直的性质定理．教学难点：直线与平面垂直的性质定理的探究及应用．（四）教学过程设计（1）直线与平面垂直的性质定理的探究引言：上一节课我们学习了直线与平面垂直的定义，以及如何判定直线与平面垂直．这一节课我们将研究直线与平面垂直的性质，也即是探究在直线a与平面α垂直的条件下，可以推出哪些结论．显然，由定义可知，直线a与平面α内所有的直线都垂直．所以我们重点探究a，α与其他直线或平面的位置关系．问题1：在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′,BB′,CC′,DD′所在的直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么关系？师生活动：学生观察长方体模型，不难发现这些直线相互平行．在此基础上，教师可以再展示一些生活中的实例，比如操场上并排的旗杆、马路两旁齐整的路灯等等，帮助学生进一步直观感知，猜想结论．设计意图：从具体几何模型和生活实例出发，让学生在直观感知中抽象出一般结论．问题2：你能从上述实例中总结出一般结论并对其进行证明吗？师生活动：教师可让一名同学叙述其总结的结论，并让同学们用图形语言和符号语言来表示该结论，然后再思考如何证明．图形语言：（图1）符号语言：若a⊥α，b⊥α,则a∥b．待证结论是a∥b，且根据题设条件，也难以将a,b归入某一个平面，故难以使用平面几何中与平行有关的结论进行证明，也无法应用基本事实4进行证明，故该定理的证明宜使用反证法．反证法对学生而言有一定难度，教师需进行引导．追问1：我们知道过一点有且只有一条直线与平面α垂直，你能利用这个事实来推证结论吗？师生活动：学生讨论交流，给出证明方法：假设直线b与a不平行，则可在直线b上任取一点O，过点O作直线b′∥a，由教科书P151例3可知b′⊥α．这样一来，过点O有两条直线b′，b与α垂直，出现矛盾，故假设不成立，所以a∥b．追问2：在一个平面内，过一点向已知直线作垂线，能且仅能作一条垂线，你能否从这个角度推出矛盾，从而反证定理成立？设计意图：学生在直观感知结论的基础上进行逻辑推理，对结论进行严谨证明．结论的证明要用到反证法，故教师用追问1和追问2来给出提示，帮助学生思考．其中追问1的方式更为简捷，可作首选．问题3：目前为止，我们都学习了哪些关于直线与直线平行的结论？师生活动：学生回答，老师注意补充．如平面几何中的一些结论（中位线、平行四边形对边平行等）、基本事实4、直线与平面垂直的性质定理等．同时教师还要指出直线与平面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”之间的相互转化．设计意图：帮助学生加深对性质定理的认识．问题4：在直线a⊥平面α的条件下，我们研究了若另一条直线b也垂直于α，则a∥b．请试着将该性质定理中的平面换成直线，或者将垂直关系变为平行关系，你能得到什么样的结论？你还能提出更多问题吗？师生活动：学生自主探究，得出一些结论．教师注意对结论的正确性予以点评，对个别结论甚至可以安排学生进行证明．可以得到如下一些结论：设计意图：让学生加深对性质定理的认识，进一步感