九年级上册第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定一、教学目标1、掌握菱形的定义和性质2、学会判定菱形3、平行四边形和菱形的区别和联系二、教学重点与难点1、菱形的性质和判定的熟练掌握2、利用菱形的性质综合解决问题三、教学过程知识点1菱形的定义创设情景，引入课题。上图的衣架中有你熟悉的图形吗？ 这种平行四边形特殊在哪里？我们称它们为菱形，你能给菱形下一个定义吗？定义：叫做菱形。知识点2菱形的性质菱形性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角；4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。5.菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）例1、如图，已知菱形的周长为16cm，∠ABC=120°，求对角线AC和BD的长。例2、菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为____cm，边长为cm，高为_____cm。练习：1、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_____，面积是______。2、菱形的一条对角线与一条边相等，则这个菱形相邻两个内角的度数分别为.3、菱形两条对角线长分别是16cm和12cm，则它的边长是________4、菱形ABCD的周长是28cm,∠BAD=∠ABC，则BD=_________,AC=_______5、菱形两对角线之比为3:4，周长为40cm，则该菱形的面积是________，高为________6.如图，在菱形ABCD中，对角线BD=10，E点在BD上，且AE=BE=3，那么这个菱形的边长等于．知识点3.菱形的判定根据定义我们知道有一组邻边相等的平行四边形是菱形，还有别的判定方法吗？菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边）例3.下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形例4.如图，在平行四边形ABCD中，请再添加一个条件，使它成为菱形，则该条件可以是______________．例5.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，EF∥AB交AD于F，试问：四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由。AABCDEF例6、如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．例7.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？练习：1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）Ａ．等腰梯形Ｂ.正方形Ｃ.矩形Ｄ.菱形2、下列说法中正确的是（）Ａ.有两边相等的平行四边形是菱形。Ｂ.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形Ｃ.两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形Ｄ.四个角相等的四边形是菱形3、用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形4、如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．基础巩固1、已知菱形两个邻角的比是1:5，高是8cm，则菱形的周长是（）。A.16cmB.32cmC.64cmD.128cm2、如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么∠EAF等于（）。A.75°B.60°C.45°D.30°3、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（）。A.AB=ADB.AC⊥BDC.∠A=∠DD.CA平分∠BCD4、下列命题中，真命题是（）。A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。C.对角线互相垂直的矩形是菱形。D.菱形的对角线相等。5、菱形是轴对称图形，对称轴有（）。A．1条B．2条C．3条D．4条6、已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形ABCDEF7、已知：如图，AD平分∠BAC，DEABCDEF8.已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．

求证：

（1）△BOF≌△DOE．

（2）DE=DF．作业1、已知菱形的周长为40cm，两对角线长的比是3:4，则两对角线的长分别是（）。A.6cm、8cmB.3cm、4cmC.12cm、16cmD.24cm、32cm2、菱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（）A、1.05cmB、0.525cmC、4.2cmD、2.1cm3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠B=120°，M为DC的中点，点N在AC上．

（1）若DC=NC，则∠NDC=度；

（2）若N是AC上动点，则DN+MN的最小值为．4.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是．5.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=72°，将它分割成如图所示的四个等腰三角形，那么∠1+∠2+∠3=度． OABOABCD求：（1）∠BAC的度数；（2）求AC的长。7、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CG∥EA交FA于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。8、如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．1.2矩形的性质与判定一、教学目标1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质，并能运用性质解决实际问题。2、通过合作、探究、交流，培养自己分析问题解决问题的能力。教学过程 知识点1矩形的定义及性质1、矩形的定义2、矩形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．练一练：1、矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等C．相邻两角互补D．对角线相等3.已知E是矩形ABCD的边BC的中点，那么S△AED=________S矩形ABCD（）A.B. C.D.4.在矩形ABCD的边AB上有一点E，且CE=DE，若AB=2AD，则∠ADE等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°知识点2直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：角：边：斜边上的中线：边与角：练一练：1.已知△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝。(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.2、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度．练习：1.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A.98 B.196C.280D.2842.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4.矩形ABCD的周长是56cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4cm，则AB=_______，BC=_______.6.已知矩形ABCD中，如图，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC=________.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，于E，于F，求PE+PF的值。知识点3矩形的判定判定1：有一个角是直角的平行四边形为矩形。判定2：三个角为直角的四边形为矩形。判定3：对角线相等的平行四边形为矩形。例2.如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．⑴求证：．⑵如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．例3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.（1）求证：AF=CE；（2）若CE=BC，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；AABDCEF练习1.两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（）A.一般平行四边形 B.菱形C.矩形 D.正方形2.延长等腰△ABC的腰BA到D，CA到E，分别使AD=AB，AE=AC，则四边形BCDE是________，其判别根据是_______.3、如图，矩形纸片ABCD中，AD=4，AB=3，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，折痕为AG，则BG的长为。提升训练1.如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：DB=CF；

（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E。（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论。1.3正方形一、教学目标1、探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．3、探究正方的判定定理，会运用定理进行证明；二、教学重难点1、理解并掌握正方形的性质；2、利用性质解决问题教学过程3、多角度思考如何判别正方形三、课前回顾1、口述矩形的性质，并用几何语言叙述矩形的性质①②③④。2、口述菱形的性质，并用几何语言叙述菱形的性质①②③④。3、判定四边形为矩形的方法：（1）（2）（3）4、判定四边形为菱形的方法：（1）（2）（3）四、教学过程【探究一】正方形的定义1、正方形的定义：2、正方形与矩形和菱形的关系是【探究二】正方形的性质1、归纳正方形的性质：边角对角线对称性2、用几何语言叙述正方形的性质：【探究三】正方形的面积练一练：1、正方形具有而菱形不具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相互平分C对角线相等D对角线平分一组对角2、正方形、矩形、菱形都具有的性质是（）A对角线互相垂直B对角线相互平分C对角线相等D对角线平分一组对角3、正方形的边长为5cm，则周长为,面积为，对角线长为；4、正方形的对角线长为4cm，则边长为,面积是；5.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+12B.12+6C.12+D.24+66、下面的命题是真命题的有（）A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C、正方形是一组邻边相等的矩形。D、正方形是有一个角为直角的菱形。【探究四】四边形中点问题依次连结平行四边形四边中点所得的四边形是__________．依次连结矩形四边中点所得的四边形是．依次连结菱形四边中点所得的四边形是__________．依次连结正方形四边中点所得的四边形是_________．例1、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（）A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分练习：1.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是．2.顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是

（）A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形3.如右图顺次连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是()A．矩形B.正方形C.菱形D.平行四边形精讲精练例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求的度数。练习1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.例2.如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．

求证：AE=BF．练习1、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE=CF；

（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．2、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则=。3.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.【探究五】根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？练一练：1．不能判定四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的矩形C．对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形2、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）A．AB=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分D．AB=BC，CD=DA如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．已知四边形ABCD是矩形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．精讲精练例1、已知中，，CD平分,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。例2、已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B∠AEB°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．AABCEDO例3.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=时，四边形MENF是正方形．练习1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．AABCDMNE练习2、如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形．

（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）试探究：当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由．五、作业1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。（ ）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（ ）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（ ）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）2.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC3、如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．EECDBAO4、如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．单元测试一、选择题1.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA=BCB．AC、BD互相平分C．AC=BDD．AB∥CD2.下列命题中的真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．中心对称图形都是轴对称图形C．两条对角线相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形是中心对称图形3．下列说法中，