陕西省西安市周至县第四中学2023-2024学年高三上学期10月第一次模拟考试理科数学试题（PDF版含解析）

第第页陕西省西安市周至县第四中学2023-2024学年高三上学期10月第一次模拟考试理科数学试题（PDF版含解析）周至县第四中学2023-2024学年度

高三级理科数学第一次模拟考试试题

考试范围：高中理科数学知识点；考试时间：120分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

第一大题每小题5分，共12*5=60分

一、单选题

1．复数zi2ii，则z（）

A5B10．．C．2D．5

55

22．已知集合Ax|4x7x20,Bx∣12x8，则RAB（）

A．x∣0x3B．x1∣x3

4

xx11C．∣或x3D．x∣x或x344

3113

3．设fx是定义在R上的奇函数，且fx2fx.若f，则f

434

（）

1111

A．B．C．D．

3344

4．某实验室有5只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这5只小白鼠中随机取出

3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为（）

A2

233

．3B．C．D．554

5．在ABC中，设ACa，ABb，G为ABC的重心，则用向量a和b为基底表示

向量GC（）

211221

A．abB．abC．abD．a

2

b

3323323

6．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）

试卷第1页，共5页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

A．5B．7C．9D．11

3x4y100

7．设x,y满足约束条件x6y40，则zx2y的最大值是（）

2xy80

A．0B．4C．8D．10

8．我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）

为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”

的表面积为（）

A．9929B．181829

C．1818218D．189218

π

9．函数fxAsinxA0,0,2的部分图象如图所示，则下列结论正

确的是（）

5πA．点,0fx

12

是的对称中心

7π

B．直线x是fx的对称轴

6

试卷第2页，共5页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

C．fx7π的图象向右平移个单位得ysin2x的图象

12

D．fxπ,2π在区间上单调递减23

22

10xy．若双曲线C:221a0,b0

2

的一条渐近线被圆x2y24所截得的弦

ab

长为23，则C的离心率为（）

A23．3B．

3

C32．2D．

2

11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分

线交AC于点D，且BD2，则a2c的最小值为（）

A．642B．12C．322D．9

12．已知函数fx是定义在,00,上的奇函数，fx是fx的导函数，且

f10，当x0时，xfxfx0，则使得fx0成立的x的取值范围是

（）

A．,11,0B．,10,1

C．1,01,D．0,11,

第II卷（非选择题）

未命名

二、填空题

136．x1x1展开式中x3项的系数为．

14．已知ABC的三内角A、B、C所对边长分别为是a、b、c，设向量

mab,sinC，n3ac,sinBsinA，若m//n，则角B的大小为.

f(x)logcosx15．函数134的单调递增区间为.2

16．已知点P是抛物线y22x上的动点，过点P作直线x=1的垂线，垂足为M，点A

7

的坐标是,4

，则APPM的最小值是．

2

三、解答题

17．在ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c，且

试卷第3页，共5页

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asinAcsinC2asinCbsinB.

(1)求B；

(2)若ABC21的面积为，b4，求ABC的周长.

2

18．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC，BABCBB12，D，E，F分

别为AA1，B1C1，AB的中点.

(1)证明：EF//平面ACC1A1；

(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值.

19．某校组织了600名高中学生参加中国共青团相关的知识竞赛，将竞赛成绩分成

50,60，60,70，70,80，80,90，90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图.

若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间60,70内的人数为300.

(1)求出频率分布直方图中a，b，c的值；

(2)估计该校学生分数的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(3)现采用分层抽样的方法从分数落在80,90，90,100内的两组学生中抽取6人，再

从这6人中随机抽取2人进行现场知识答辩，求抽取的这2人中恰有1人的得分在区间

90,100内的概率.

20x

2y2

．已知椭圆C:221ab0的左顶点为A，右焦点为F2,0，过点A作倾斜ab

试卷第4页，共5页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

π

角为的直线与椭圆C相交于A,B两点，且ABOB，O为坐标原点．

6

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作与直线AB平行的直线l,l与椭圆C相交于P,Q两点，直线OP与OQ的斜率

分别为kOP,kOQ，求kOPkOQ．

21．已知函数fxlnxax1.

x

(1)当a2，求fx的极值；

(2)若fxeax恒成立，求a的取值范围.

四、选考题

x13t

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原

yt

Ox2

6

点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

2sin2

(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

11

(2)已知点M1,0，若直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA||MB|的值.

23．已知函数fx2x2x5．

(1)求不等式fx4的解集；

(2)2若fxa2a10恒成立，求实数a的取值范围．

试卷第5页，共5页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

参考答案：

1．B

【分析】由条件可知z

i

i，利用复数的除法计算结果，并求模.

2i

ii2i1213

【详解】zii，故zi，

2i55555

z1

23210

则

.

555

故选:B.

2．C

【分析】分别求集合A、B，再根据集合间的运算求解.

1

【详解】由题意可得Ax∣4x27x20xx∣x2，Bx∣128{x∣0x3}，

4

1

则ABx∣x3，

4

故RAB

x

1

∣x或x3.

4

故选：C.

3．A

【分析】根据已知推得fx是周期为4的奇函数，应用周期性、奇函数性质求函数值.

【详解】由题设，fx2fxf(x)，则fxf(x2)，

所以fx2f(x2)，即fxf(x4)，故fx是周期为4的奇函数，

f133331所以4

f(4)f()f().

4443

故选：A

4．C

【分析】先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的

计算公式求解.

【详解】设过某项指标的3只小白鼠为a,b,c，剩余的2只为A,B，

则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，

{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种.

其中恰好有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共

6种，

答案第1页，共14页

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

63

所以恰好有2只测量过该指标的概率为105.

故选：C.

5．A

【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】如图，G为ABC的重心，延长AG交BC于点D，

21

由题意可知AGAD，AD(ABAC)，

32

所以AG

21

[(ABAC)]1(ABAC)1(ab)，

3233

所以GCGAAC

1(a21b)aab，

333

故选：A.

6．C

【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n的值.

【详解】执行如图所示的程序框图如下：

S04S11不成立，，n123；

9133

S14112不成立，S，n325；

393355

S24213不成立，S，n527；

595577

S34314不成立，S，n729.

797799

S44成立，跳出循环体，输出n的值为9，故选C.

99

【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每

一步，考查计算能力，属于中等题.

7．B

【分析】作出可行域，利用数形结合求出最大值.

【详解】作出可行域如图所示：

答案第2页，共14页

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把zx

11

2y转化为直线yxz，平移直线经过A4,0时，纵截距最大，

22

所以zx2y404最大.

故选：B

8．C

【分析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，求出其表

面积即可.

【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，

2

故所求表面积S3336332321821.

故答案为：C.

【点睛】本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.

9．D

【分析】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.

【详解】由题意可知，A1,

3T11ππ,解得Tπ，

4126

Tπ2π所以，解得2，

π

将,0

代入fxsin2x中，得sin

π

2

0kππ，解得，kZ,

663

答案第3页，共14页

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πππ

因为，所以，

222

当k0时，π3，

π

所以fx的解析式为fxsin2x.

3

f5π对于A，sin

25ππ105π，所以点,0不是fx的对称中心，故A错误；

1212312

7π7ππ7π

对于B，fsin201，所以直线x不是fx的对称轴，故B错误；

6636

fxsin2xπ7π对于C，的图象向右平移个单位得

312

fxsin2x7ππsin

2x3π

cos2x的图象，故C错误；

1232

π2ππ2πππ2π

对于D，当x,23时，

2x,π,π，所以fx在区间,上单调递减，33223

故D正确.

故选：D.

10．B

2

2b2

【分析】根据题意，得出方程34，求得a2=3b2，结合离心率的定义，

a2b2

即可求解.

【详解】由题意，双曲线C的一条渐近线方程为bxay0，

又由圆x22y24的圆心为(2,0)，半径为r2，

因为一条渐近线被圆x22y24所截得的弦长为23，

2

2b2

34a23b2a23c2a2可得，所以=，即，

a2b2

ec23所以．

a3

故选：B．

11．A

【分析】先利用题给条件求得a,c之间的关系，再利用均值定理即可求得a2c的最小值.

【详解】由S△ABCS△ABDS△DBC可得，

答案第4页，共14页

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1acsin12012asin6012csin60，

222

22

即ac2a2c，则1，

ac

a2ca2c224c2a4c2a则626426

acacac

（当且仅当a22,c=2+1时等号成立）

故选：A

12．C

【分析】令函数F(x)xf(x)，x,00,，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数

的单调性，即可分析函数的取值特征，从而得解.

【详解】由题意可知，函数f(x)是奇函数，则fxfx，

令函数F(x)xf(x)，x,00,，则FxxfxxfxFx，即函数F(x)

为偶函数，

又当x0时，F(x)xf(x)f(x)0，

所以函数F(x)xf(x)在(0,)上单调递减，

根据对称性可知，函数F(x)xf(x)在(,0)上单调递增，

又f(1)0，所以f1f10，所以F1F10，

所以当x1或x1时Fx0，当1x0或0x1时Fx0，

所以当x1时Fx0则fx0，

当x1时Fx0则fx0，

当0x1时Fx0则fx0，

当1x0时Fx0则fx0，

所以使得f(x)0成立的x的取值范围是1,01,.

故选：C

13．5

【分析】先求出x16的通项公式，结合x3的构成方式进行讨论即可.

答案第5页，共14页

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x16r【详解】的展开式的通项为：TCrr16x6r1r0,1,2,,6，

令6r2，解得r4，

x16所以的展开式中x2项为C46x21

415x2，

令6r3，解得r3，

x163所以的展开式中x3项为C36x3120x3，

6233

所以x1x1展开式中x3项为x15x120x5x，

所以x1x16展开式中x3项的系数为5.

故答案为:5

【点睛】求形如(ab)n(cd)m(n,mN*)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，

由多项式乘法求得所求项的系数.

5

14．6

【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，

再利用余弦定理求出B的余弦，即可求出角．

【详解】∵向量mab,sinC，n3ac,sinBsinA，若m//n，

∴(ab)(sinBsinA)sinC(3ac)0，

由正弦定理知：(ab)(ba)c(3ac)，即a2c2b23ac，

由余弦定理知：2accosB3ac，

∴5cosB3＝，∵B∈（0，π），∴B＝6．2

5

故答案为：6

【点睛】本题考查向量平行的充要条件和三角形的正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题

型．

33

15．6k,6k,kZ44

【分析】根据复合函数单调性和定义域得到2k

x2k，计算得到答案.

342

xx

【详解】根据复合函数单调性知：需求ycos单调递减区间，且cos0

3434

答案第6页，共14页

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则2k

x2k6k33x6k,kZ

34244

33

故答案为：6k,6k,kZ44

【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.

11

16．

2

【分析】分析点A(

7,4)1在抛物线外部，再由抛物线定义知|PM||PF|，转化为求

22

|AP||PF|1的最小值问题，利用三点共线可得解.

2

【详解】因为422

7

77，所以点A(,4)在抛物线外部，

22

11

设抛物线焦点为F，则F(,0)，准线方程为x，

22

1

由抛物线定义可知，|PM||PF|,

2

AP1PM|AP||PF|，

2

当且仅当点P、A、F三点共线时，APPF的值最小，且为

AF(71)2(40)25，此时P为AF与抛物线的交点，

22

PAPM111的最小值为5+.

22

11

故答案为：

2

17．(1)B

3π

4

(2)432

【分析】（1）由正弦定理角化边得a2c22acb2，再根据余弦定理可求出结果；

（2）根据三角形面积公式求出ac22，由a2c22acb2配方得

(ac)216(22)ac，再将ac22代入求出ac32可得结果.

【详解】（1）因为asinAcsinC2asinCbsinB，

所以由正弦定理得a2c22acb2，

cosBa

2c2b22

所以，

2ac2

答案第7页，共14页

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因为0B

3π

π，所以B.

4

2S11221（）因为ABCacsinBac，所以ac22，2222

由（1）知，a2c22acb2，

所以(ac)22ac2ac42，

所以(ac)216(22)ac，

所以(ac)216(22)(22)18，所以ac32，

所以ABC的周长为bac432.

18．(1)证明见解析

(2)55

11

【分析】（1）取AC的中点G，连接FG，C1G，利用线线平行证明线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值.

【详解】（1）取AC的中点G，连接FG，C1G，

1

因为F，G分别为AB，AC的中点，所以FG//BC，FGBC，

2

又E为B1C1的中点，BC//B1C1，BCB1C1，

所以FG//EC1，FGEC1，

所以四边形EFGC1是平行四边形，

所以EF//C1G.

答案第8页，共14页

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又EF平面ACC1A1，C1G平面ACC1A1，

所以EF//平面ACC1A1；

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，

又BA，BC平面ABC，所以BB1BA，BB1BC，

又BABC，

故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则C0,2,0，D2,0,1，E0,1,2，F1,0,0，

所以FE1,1,2，FD1,0,1，CE0,1,2，

nFExy2z0设平面DEF的法向量为nx,y,z，则，

n

FDxz0

令x1，得n1,3,1

设直线CE与平面DEF所成的角为，

nCE103112

则sincosn,CE

55

，nCE12321202122211

55

即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为.

11

19．(1)a0.05，b0.03，c0.01

(2)中位数为69，平均数为71

答案第9页，共14页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

8

(3)

15

【分析】（1）由成绩落在区间60,70内的人数为300，可求出a，再由各组的频率和为1，

结合a，b，c成等差数列，可求出b,c，

（2）先判断中位数的位置，再列方程求解，利用平均数的定义求平均数即可，

（3）由分层抽样的定义求得抽取的6人中成绩位于80,90的人数为4，这4人分别记为a，

b，c，d，成绩位于90,100的人数为2，这2人分别记为E，F，然后利用列举法求解概

率.

3001

【详解】（1）由已知可得a0.05，

60010

则0.0050.05bc0.005101，即bc0.04，

又因为a，b，c成等差数列，所以2b0.05c，

解得b0.03，c0.01，

（2）可知0.005100.050.5，0.0050.05100.550.5，

设中位数为x，则x60,70，由0.00510x600.050.5，解得x69，即中位数为

69，

平均数为550.005650.05750.03850.01950.0051071.

（3）成绩位于区间80,90内的学生有0.011060060人，成绩位于区间90,100内的学

生有0.0051060030人，

通过分层抽样抽取的6人中成绩位于80,9060的人数为64，这4人分别记为a，b，

90

c，d，

成绩位于90,10030的人数为62，这2人分别记为E，F，

90

从上述6人中抽取2人的基本事件有ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，

cE，cF，dE，dF，EF，共15种，

其中恰有1人的得分在区间90,100内的基本事件有aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，

dF，共8种，

答案第10页，共14页

{#{ABbSYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

8

故所求概率P.

15

x220．(1)y21

5

1

(2)kOPkOQ5

【分析】（1）求得B点坐标并代入椭圆C的方程，结合c2求得a2,b2，从而求得椭圆C的

方程.

（2）求得直线l的方程并与椭圆C的方程联立，化简写出根与系数关系，进而求得kOPkOQ.

ππ

【详解】（1）过B作BDx轴，垂足为D，由于BAO,ABOB,ABO，

62

所以BOA

π

，由于OAaOB

a,ODOB1a，所以，

3224

a

2a23Ba3

BD24

a，所以,a，

444

13a2

将B点坐标代入椭圆C的方程得21,a

25b2，

1616b

a25b2

由22a2b2c22

，解得a5,b1，

b4

2

所以椭圆Cx的方程为y21.

5

（2）直线l的方程为y0tanπx23x23，即yx2，

633

y3x23

由，消去y2并化简得8x

220x50,4001602400，

xy215

2055

不妨设Px1,y1,Qx2,y2，则x1x2,x821x2，8

yy3x23x21xx2xx415511212333121224，3828

1

yy

所以kk128

1

OPOQxx5

.

125

8

答案第11页，共14页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

【点睛】求解椭圆标准方程有关问题，关键在于利用已知条件求得a,b，a,b是两个未知数，

要求得两个未知数，则需要两个已知条件，本题中，第一个已知条件是焦点坐标，第二个已

知条件是椭圆上一点的坐标，通过这两个条件即可求得椭圆的方程.

21．(1)极大值为3，无极小值

1

(2),

e

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定函数的极值情况；

1ax1

（2）将问题化为lnxlneax，构造gxlnx

1lnx

并用导数研究单调性得到a

xexx

lnx

恒成立，再构造hx，利用导数求其最大值，即可得参数范围.

x

【详解】（1）当a2时fx1lnx2x，x0,，

x

112x2x1fx2x12x1则222，xxxx

所以在0,1上fx0，fx单调递增，在1,上fx0，fx单调递减，

当x1时fx取得极大值，f10213，故fx的极大值为3，无极小值.

2fxeax（）由，可得lnxax1eax，则lnx1axeax，即

xx

lnx11lneaxax.xe

令gxlnx1，则gxgeax，

x

lnx

因为gx在0,上单调递增，所以xeax，则a.x

hxlnxhx1lnx令，则2，xx

在0,e上hx0，hx单调递增，在e,上hx0，hx单调递减，即

答案第12页，共14页

{#{ABSbYwCYUh3ougDCYAkAIh6AgiAQA4Q6VgCyOQWwHzkCgCQg8CJQSxkpAIA5OAAFC0YoMGQ6AXAYMNs1AlAHAAKAF=}A#B}AA=}#}

h(x)maxhe

1

，

e

所以a

1

，则a