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第二节3几种特殊类型函数的积分有理函数的积分三角函数有理式的积分简单无理函数的积分小结有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点将有理函数化为部分分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为真分式化为部分分式之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例3整理得例4

求积分解例5

求积分解例6

求积分解令说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；讨论积分令则记这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）例7

求积分解由万能置换公式例8

求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例9

求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10

求积分解令三、简单无理函数的积分例11

求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例12

求积分解先对分母进行有理化原式简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.练习题练习题答案（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见《高等数学》（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第452页．（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明例1

求被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（7）现在于是二、例题例2

求被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个选公式（105）将代入得例3

求表中不能直接查出,需先进行变量代换.令被积函数中含有在积分表（六）中查得公式（37）将代入得例4

求在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果.这个公式叫递推公式.现在于是对积分

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