数值计算标准答案石瑞民

.-习题一1、取3.14,3.15，22，355作为的近似值，求各自的绝对误差，相精品文档放心下载7113对误差和有效数字的位数。解：x3.141110211013x122所以，x有三位有效数字13.14绝对误差：e3.14，相对误差：er绝对误差限：1102，相对误差限：1103111022r2363.1523.150.008401740.840741020.51010.51012谢谢阅读所以，x有两位有效数字23.15绝对误差：e3.15，相对误差：er绝对误差限：1101，相对误差限：11012r622722270.00126450.126451020.51020.51013谢谢阅读所以，x有三位有效数字322绝对误差：e22，相对误差：er77绝对误差限：1102，相对误差限：11022r635511131133550.000000320.321060.51060.51017感谢阅读所以，x有七位有效数字4355绝对误差：e355，相对误差：e113113r.-绝对误差限：1106，相对误差限：11062r63、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。谢谢阅读x0.0315,x0.3015,x31.50,x5000解：x0.03151m=-12341141x*x101013122所以，n=3，x有三位有效数字1111绝对误差限：104，相对误差：10n1102m=02r2a6x0.30152x*x110411004222所以，n=4，x有四位有效数字1111绝对误差限：104，相对误差：10n1103m=22r2a6x31.503x*x110211024322所以，n=4，x有四位有效数字1111绝对误差限：102，相对误差：10n1103m=42r2a6x50004x*x110011044422所以，n=4，x有四位有效数字1绝对误差限：121000.5，感谢阅读相对误差：112a10n125103102r4、计算10的近似值，使其相对误差不超过0.1%。谢谢阅读解：设取n位有效数字，由定理1.1知，110n1r2a10100.3162…，所以，a3谢谢阅读1由题意，应使1610n10.1%，即1010n6103所以，n=4，谢谢阅读即10的近似值取4位有效数字.-近似值x3.162、在机器数系下F(10,8,L,U)中取三个数x0.23371258104y0.33678429102，z0.33677811102，试按(xy)z和x(yz)精品文档放心下载种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。谢谢阅读(xy)z(0.233712581040.33678429102)0.33677811102精品文档放心下载解： (0.000000233712581020.33678429102)0.33677811102谢谢阅读0.336784523712581020.33677811102谢谢阅读0.336784521020.33677811102谢谢阅读0.000006411020.64100000103谢谢阅读(yz)0.23371258104(0.336784291020.33677811102)感谢阅读0.233712581040.61800000000103感谢阅读0.0233712581030.61800000000103精品文档放心下载0.6413712581030.64137126103xyz0.233712581040.336784291020.33677811102谢谢阅读0.000000233712581020.336784291020.33677811102谢谢阅读0.000006413712581020.64137126103所以，x(yz)比(xy)z精确，且x(yz)与xyz相同；谢谢阅读

，两因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。精品文档放心下载8、对于有效数x3.105，x0.001，x0.100，估计下列算式的相123对误差限。yxxx，yxxx，yx2112311233x3解：x3.105，m=1;111x*x1031014122所以(x)110312同理(x)1103(x)11032232.-1e(x)11031e(x)2e(x)103x1或(x)10312r13.1025r123111031e(x2)1e(x)103e(x)2或(x)10022r1x20.001r22111031e(x)1e(x3)10er(x3)0.100r(x3)10332或3exxxe3xexex所以e(xxx)123123r123xxxxxx123123e(y)e(xxx)0.49975103r1r123e(y)e(xxx)e(xx)e(x)e(x)e(x)e(x)r2r123r12r3r1r2r3所以，e(y)0.50516r2x)er(x2)er(x3)er(y3)er(x2所以，e(y3)0.505综合得：r3(y)0.49975103，(y)0.50516，(y)0.505r1r2r39、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中x1表示接近0，x1表示x充分大）。精品文档放心下载（1）lnxlnx，xx1212（2）11x，x11x1x（3）x1x1，x1xx（4）1cosx，x0且x1精品文档放心下载x（5）1xcotx，x0且x1谢谢阅读答案：（1）lnx1；（3）2，xx3xx3x21x2得出结果为：1x（4）法一：用1cosx22法二：1cosx1cosxsinx1cosxxxxsinxsinxsinx1cosxsinx(x0)sinx1cosx

，充分.-1cosx2sin2(x)tanx或x2xsinx22sin(2)cos(2)12、试给出一种计算积分Ie11xnexdx近似值的稳定性递推算法n0解：显然，In>0,n=1,2,…n=1时，得，I1xex1dx1e01精品文档放心下载当n≥2时，由分部积分可得：I1xnex1dx1nI，n=2,3,…n0n11xnex1dx1xndx1另外，还有：In00n1由递推关系In=1-nIn-1，可得计算积分序列{I}的两种算法：谢谢阅读①In1nIn=2,3…n1Inn1②In2,3,...，n1n下面比较两种算法的稳定性①若已知In1的一个近似值I~n1，则实际算得的In的近似值为感谢阅读~~所以，II(n)(IIIn1nIn1~~nnn1n1~~IInnIIn1nn1由此可以看出I的误差放大n倍传到了I，误差传播速度逐步放大n1n②由I计算II1InnN,N1,1nn1n1n若已知I所以，I

的一个近似值是I~，则实际计算的I的近似值为nnn1~~1InIn1n~1~In1(IIn)n1nn~1~IIIInn1n1nn由此可以看出I的误差将缩小n倍传到了I，误差传播速度逐精品文档放心下载n n步衰减。综上可看出，计算积分I e11xnexdx的一种稳定性算法为感谢阅读0.-1InnN,N1,N2,1.谢谢阅读nn1习题二1、利用二分法求方程x32x24s70[3，4]内的根，精确到103，即误差不超过12103。精品文档放心下载解：令f(x)x32x24x7谢谢阅读f(3)100，f(4090，说明在[3，4]内有根，感谢阅读利用二分法计算步骤得出x3.632324219，x3.632183593810111baxx0.4882181103103满足精度要求111111102所以，x*x 3.6321，共用二分法迭代11次。谢谢阅读112、证明1xsinx0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于谢谢阅读12104的根。证明：令f(x)1xsinx谢谢阅读f(0)10;f(1)sin10，感谢阅读所以，f(0)f(1)0由零点定理知，f(x)在[0,1]内有一根根据计算得出：x*x 0.98283，此时共迭代15次。感谢阅读154、将一元非线性方程2cosxex0写成收敛的迭代公式，并求其在感谢阅读0.5附近的根，精确到102。0解：令f(x)2cosxex令f(x)=0，得到两种迭代格式arccosex212ln(2cosx).-①ex，不满足收敛定理。(x)21ex22(x)2sinxtanx2cosx精品文档放心下载(x)(0.5)0.0087271，满足收敛定理精品文档放心下载2 0 2由方程写出收敛的迭代公式为xln(2cosx)k1k取初值为x0.5，得出近似根为：x*x0.69307417025、为方程x3x210在x1.5附近的一个根，设方程改写为下列等0价形式，并建立相应的迭代公式：（1）x11，迭代公式x11；x2k1x2k（2）x3x21，迭代公式x(x21)1/3k1k（3）x21，迭代公式x1x1k1(x1)1/2k解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值x1.5附近的局部感谢阅读0收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于(x).(x)，所以(x)比(x)收敛的慢谢谢阅读1 2 1 2取第二种迭代格式x(x21)1/3k1k取初值x1.5，迭代9次得x*x1.466097、用牛顿法求解x33x10在初始值x02临近的一个正根，要求xk1xk103。解：令f(x)x33x1.-由牛顿迭代法知：xxf(xk)3xk31k1kf(x)3(x21)kk迭代结果为：k0123x21.888891.879451.87939k满足了精度要求，x*x 1.8793938、用牛顿法解方程1xC0，导出计算C的倒数而不用除法的一种感谢阅读简单迭代公式，用此公式求0.324的倒数，设初始值x3，要求计算结果有5位有效数字。0解：f(x)10.325x1，由牛顿迭代公式xk1xkf(x)kk迭代结果为：k0123x33.0843.0864183.086420k满足精度要求x*x3.08643所以，0.324的倒数为3.086411、用快速弦截法求方程x33x10在x2附近的实根，（取x=1.9，要求精度到103）。01解：f(x)x33x1，迭代结果：k01234.-xk21.91.8810941.879411601.87939满足精度要求x*x 1.87939412、分别用下列方式求方程4cosxex在x附近的根，要求有三位感谢阅读0 4有效数字（1）用牛顿法，取x04（2）用弦截法，取xx0412（3）用快速弦截法，取xx0412解：求出的解分别为：x0.905x0.905x0.905123习题三1、用高斯消元法解下列方程组2xx3x1123（1）4x2x5x4（2）123x2x27111x3x2x312323x11xx0123x2x2x1123解：（1）等价的三角形方程组为x94x2x5x4123112x0.5x1，回代求解为x2732126x4x383（2）等价的三角形方程组为x14123x11xx019357123106x47x1x，回代求解为2322332232193193xx223573573193.-102001112、将矩阵A作LU分解。201100111000102001110111,U解：L20100051010060510557910x113、用LU68109x1紧凑格式分解法解方程组710872x135765x141000579106/510002/54/53解：L，U7/51/21000517/2103/510001/10120Y1/5,X12.1/253/103x2x2x11234、用列主元的三角分解法求解L3xx4x7方程组1232x3x2x01231221解：A31472320100314,YL2/310,U07/314/31/37/50004

72,X14/3121/25、用追赶法解三角方程组Axb，其中210001121000A01210,b0.001210100120.-1211/213/21解：L2/31，U4/313/415/414/516/515/61/22/31/3，X1/21/41/31/51/64x2x4x101236．用改进的Cholesky分解法解方程组2x17x10x31234x10x9x7123100424102解：L，U1/2100168，Y8，X111/21001114110x71310187、用改进的cholesky分解法解方程组x21152x4300246x441-1071011/4-3/4025/42解：U，Y，X0050/112-6/111000278/25156/258、设x(1,2,3)T,求x,x和x。12解：xnx61i1x nx2 1421xmaxx31109、设A22-3,求A,A和A41125解：A8，A10，A(ATAT)7.141712110110、设A22-3，x3，计算x，A及Ax，并比较Ax4125.-x•A的大小。解：x3，A=10，Ax=9122x12111、给定方程111x2021021x3（1）写出Jacobi

和Gauss-Seidel迭代格式；（2）证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散；谢谢阅读（3）给定x(0)(0,0,0)T，用迭代法求出该方程的解，精确到谢谢阅读x(k1)x(k)1103。2解：x2x2x12123（1）Jacobi迭代公式xxx213x2x2x10312x(k1)2x(k)3x(k)12123Gauss-Seidel迭代公式x2(k1)2x2(k)x3(k)128x(k)6x(k)38x(k1)n23（3）用Jacobi迭代得，X*X(4)(12,46,58)T5xxxx41234x10xxx1213、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel1234xx5xx812341234迭代格式的收敛性。14、方程组Axb，其中1aaA4a10，x,bR3a01利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值范围。精品文档放心下载0aa解:Jacobi迭代矩阵为B4a00Ja00当1得，a55BJ.-0aaGauss-Seidel迭代矩阵为：B04a24a2J0a2a2当1得，a55BS430x24115、设方程组341x30分别用Gauss-Seidel迭代法和0214x243w=1.25的SOR法求解此方程，准确到4位有效数字（取x(0)(1,1,1)T）解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此时近似解为精品文档放心下载x*x(17)(3.000,4.000,5.000)T感谢阅读SOR法w=1.25时，迭代11次，此时的近似解为谢谢阅读x*x(11)(3.000,4.000,5.000)T精品文档放心下载16、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子w=1.03，w=1，w=1.1）精品文档放心下载4xx1124精确解x*(1/2,1,1/2)，要求当x*x(k)5106x4x3x312x4x332时，终止迭代，并且对每一个w值确定迭代次数。解：当w=1.03时，迭代5次，x*x(5)(0.5,1,0.5)T感谢阅读w=1时，迭代6次，x*x(6)(0.5,1,0.5)T谢谢阅读w=1.1时，迭代6次，x*x(6)(0.5,1,0.5)T精品文档放心下载习题四1、设x0,x1，写出f(x)ex的一次插值多项式L(x)，并估计插值误差。011解：L(x)yyy(xx)1110(1)x10xx0eM10|R(x)|(xx)(xx)，其中Mmaxf(x)11201x0xx111|R(x)|(xx)(xx)120182、给定函数表xif(x)i

-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454精品文档放心下载选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。谢谢阅读.-解：⑴、求f(0.2)，选用插值节点为x-0.1，x0.3，x0.7，用lagrange精品文档放心下载插值多项式为：012L2(x)(xx)(xx)y0(xx012010210解得f(-0.1)L(-0.1)0.9792⑵、求f(0.8)，选用插值节点x0L2(x)(xx)(xx)y0(xx012010210解得：f(0.8)L(0.8)0.69752

)(xx2)y(xx0)(xx)1(xx12200.3，x0.7，x12)(xx2)y(xx0)(xx)1(xx1220

)(xx)1 y)(xx) 211.1，，)(xx)1 y)(xx) 22 14、给定数据（f(x) x）x2.02.12.22.4i1.142141.4491381.483201.54917f(x)i（1）试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差。精品文档放心下载（2）试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。解：（1）取x2.2，x2.4感谢阅读01L(x)yyy(xx)0.32995x0.757311010xx010f(2.3)L(2.3)1.5161951|R(x)|M(xx)(xx)，Mmaxf(x)0.07661201x0xx1|R(2.3)|0.0766(2.32.2)(x2.4)0.000383112（2）写出二次Newton插值差商表xf(x)一阶差商二阶差商ii2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.0431(x)1.4142140.34924(x2)0.0431(x2)(x2.1)谢谢阅读2f(2.15)N(2.15)1.4663感谢阅读2(2.15)0.00000414325、给出函数值x01234y01646880.-试求各阶差商，并写出Newton插值多项式和差值余项。谢谢阅读解：xy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商i001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/6(x)16x7x(x1)5/2x(x1)(x2)7/6x(x1)(x2)(x4)精品文档放心下载4R(x)f(x)N(x)f[x,x,x,x,x,x]w(x)感谢阅读4 4 0 1 2 3 4 5f(6)()(x0)(x1)(x2)(x4)(x5)6!精品文档放心下载6、给定数据表x(x)

0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.158)和f(0.636)。精品文档放心下载解：⑴、求f(0.158)，取x0.125，x0.25，x0.375,x0.500，h=0.125差分表为0123xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分ii0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316由公式f[x,x,x,x]kfiii1i2ikk!hk.-由牛顿插值公式有f(0.158)N(0.158)0.79061感谢阅读3⑵、求f(0.636)，取x0.375，x0.500，x0.625,x0.750，h=0.1250123xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分ii0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得f0.636)N(0.636)0.65179谢谢阅读39、给出sinx在[0,pi]的等距节点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断误差为12104，问该函数表的步长h应取多少才能满足要求？感谢阅读解：设插值节点为xih，（i=0,1……h）,hin由h2h2f(x)2m2F(x)=sinx，f(x)sinx，所以f(x)1，即m21谢谢阅读所以h0.02步长h应取为0.02才能满足要求。14、已知实验数据如下xiyi

192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如yabx2的经验公式，并计算均方差。感谢阅读解：设拟合多项式为yabx2，则正规方程组为感谢阅读SSSaT0120SSS0T1S231S2S4bT32.-51575327a271.4即：157532719233109776.153271923317277699369321.5ba0.968b0.05所以，经验公式为：y0.9680.05x2谢谢阅读均方误差为0.00301915、观测物体的直线运动，得出以下数据时间t(s)00.91.93.03.95.0距离010305080110S(m)求运动方程。解：设拟合多项式为yabxcx2，则正规方程组为SSSaT0120SSS0T1231SSSbT2342614.753.63a280即：14.753.63218.907b107853.63218.907951030234533.2ca=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488精品文档放心下载所以拟合多项式为y0.583411.0814x2.2488x2。感谢阅读习题五1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。精品文档放心下载（1）1x