抽油杆柱振动模型的分析与改进

抽油杆柱振动模型的分析与改进

油挤出柱垂直振动对油挤出系统的影响很大。国内外对此曾进行过研究,研究结果认为,抽油杆柱的行为由2种情况组成,即,情况1是杆柱在顶部受正弦激励,底部自由;情况2是杆柱在顶部固定,底部承受正弦位移。该位移的幅度与相位使泵处的等效力和位移与简化前泵处的相等(如图1)。通常对2种情况分别进行研究,再进行迭加。最近有文章对该研究成果进行质疑。文献认为,情况1的力学模型是正确的;而情况2的力学模型是错误的。根据振动力学理论,激励按来源可分为2类,一类是力激励,它可以是直接作用于机械运动物体上的力,也可以是旋转机械或往复运动机械中不平衡量引起的惯性力;另一类是由于支座运动而导致的位移激励、速度激励以及加速度激励。抽油杆柱是一个振动物体,所以直接作用在抽油杆柱上的激励只能是力,而不可能是位移。位移激励只能作用于抽油杆柱顶部的支座上。在情况1中,把悬点看作支座,抽油杆柱固定在支座上,随支座上下周期性往复运动,支座的周期性运动使抽油杆柱发生强迫振动,这就是振动力学中支座激扰振动;而在情况2中,直接在振动物体上作用激扰位移,而非激扰力。这种现象不符合振动力学理论。所以把作用在抽油杆柱底部正弦位移激励Τ2sin(ωt)改为正弦力激励F0sin(ωt)更为合理。本文根据此力学模型,用振型叠加法对抽油杆柱纵向振动进行分析。1偏微分方程变换成第一自由度组在振型叠加法中,把抽油杆柱各个截面的纵向位移u(x,t)表示为振型函数的级数。即u(x‚t)=∑iXi(x)qi(t),式中,Xi(x)为振型函数;qi(t)为系统的广义坐标。利用振型函数的正交性,就可以将系统的物理坐标偏微分方程变换成一系列广义坐标二阶微分方程组。这样,就可以按一系列1个自由度系统的问题来处理。要确定振型函数,首先要研究抽油杆柱纵向自由振动。抽油杆柱纵向自由振动可以看作是一端固定,一端自由的杆进行的纵向振动(如图2)。设杆的单位体积质量为ρ、杆长为l、截面积为A、材料的弹性模量为E。其波动方程为∂2u∂x2=1c2∂2u∂t,式中,c2=E/ρ。该方程的通解为u(x‚t)=[Csin(pcx)+Dcos(pcx)][Asin(pt)+Bcos(pt)]。边界条件为X(0)=0‚dX(l)dx=0。根据边界条件可得到杆的固有频率fi=(2i-1)πc2l‚(i=1,2,3⋯)。相应的振型函数为Xi(x)=Cisin(2i-1)πx2l‚(i=1,2,3⋯)。2强迫振动微分方程抽油杆柱的截面x在时刻t相对于悬点位移为u(x‚t)=∑iXi(x)qi(t)。抽油杆柱各点的速度为∂u(x,t)∂t=∑i=1Xi(x)qi(t)。系统的动能为Τ=12∫l0ρ(∂u(x,t)∂t)2dx=12∑iΜiq2i‚式中,Mi=∫l0ρX2i(x)dx。系统的势能为U=12∫l0EA[∂2u(x,t)∂x2]2dx=12∑iΚiq2i‚式中,Ki=∫l0EA[X″(x)]2dx。广义力Fi=∫l0p(x,t)Xi(x)dx,式中,p(x,t)为抽油杆柱承受的分布力。根据拉格朗日方程ddt(∂Τ∂qi)-∂Τ∂qi+∂U∂qi=Fi,可得广义坐标qi微分方程¨qi+p2iqi=FiiΜi。这就是以广义坐标描述的抽油杆柱的强迫振动微分方程。求解此方程就可以获得抽油杆柱强迫振动响应。3油柱强制振动响应3.1广义力fi振型函数为Xi=Cisin[(2i-1)πx2l]。进行归一化处理∫l0X2i(x)dx=∫l0C2isin2[(2i-1)πx2l]dx=1,从而Ci=√2/l。广义力为Fi=-üg∫l0Xi(x)dx=s2ω2sin(ωt)∫l0Xi(x)dx。根据杜哈梅积分计算qi(t)=1pi∫l0Xi(x)dx∫l0s2ω2sin(ωt′)sin[pi(t-t′)]dt′=lCiω2s(2i-1)π(p2i-ω2)[sin(ωt)-ωpisin(pit)]。抽油杆柱强迫振动响应u(x‚t)=∑i2sω2(2i-1)π(p2i-ω2)×[sin(ωt)-ωpisin(pit)]sin(2i-1)πx2l‚(i=1‚2‚3⋯)。3.2抽油杆柱强迫振动响应抽油杆柱振型函数为Xi(x)=Cisin(2i-1)πx2l‚(i=1‚2‚3⋯)。进行归一化处理∫l0ρAC2isin2(2i-1)πx2l=C2iρAl2=1。从而Ci=√2ρAl。作用在抽油杆柱上的分布力p(x,t)=F0sin(ωt)·δ(x-l)。广义力Fi=∫0lF0sin(ωt)⋅δ(x-1)Cisin(2i-1)⋅πx2l=CiF0sin(2i-1)π2sin(ωt)。根据杜哈梅积分计算qi(t)=CiF0pi2-ω2sin(2i-1)π2[sin(ωt)-ωpisin(pit)]。抽油杆柱强迫振动响应u(x‚t)=∑iXi(x)qi(t)=2F0ρAl∑i1pi2-ω2sin(2i-1)π2[sin(ωt)-ωpisin(pit)]sin(2i-1)πx2l(i=1,2,3⋯)。抽油杆柱的总响应是这2个响应的迭加。4线性系统激励和强能量的算法结果不同1)从机械振动理论的观点出发,对抽油杆柱纵向振动的力学模型进行系统分析,认为把抽油杆柱下端激励由正弦位移激励改为正弦力激励是合理的。并利用振型叠加法对抽油杆柱响应进行了精确分析。结果表明,只有当激励频率等于任何一阶固有频率时才会发生共振,这与共振理论是相符的。2)以上结论是在把抽油杆柱看作线性系统的条件下得出的,而抽油杆柱具有一定的非线性。叠加原理并不适用于非线性系统,因此,所得结果与实际情况有一定差距。3)在线性系统中,强迫振动频率与激励力频率相同。而