欧氏空间中曲线的切可展面和从切可展面的点云

欧氏空间中曲线的切可展面和从切可展面的点云

1类空、类光向量的智能化w.alice，s.izumiya等人使用高函数和距离椭圆函数作为工具研究了欧洲空间中曲线的切可伸长曲线、从切可伸长曲线和从交叉插入曲线的奇迹分类。在文献中，我们研究了三维minkflow空间中光曲线的焦可伸长曲线以及作为法线平面的辅助色度的点分类。在本文中，我们讨论了三维minkflow空间中光曲线从交叉延伸的便利性分类，并研究了俱乐部的相似性与曲线几何的不变量的关系。其中和是曲线的曲率和抗弯率。下面简单介绍本文所需的基本概念,并给出本文的主要结果.设R3={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈R}是三维实向量空间,x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)是R3中的两个向量,它们的伪内积定义为〈x,y〉=-x1y1+x2y2+x3y3.(R3,〈,〉)叫做三维伪欧式空间或三维Minkowski空间.将(R3,〈,〉)简记为R31.R31中任意两个向量x=(x1,x2,x3)和y=(y1,y2,y3)的伪向量积定义为:x∧y=(x3y2-x2y3,x3y1-x1y3,x1y2-x2y1),并且对非零向量x∈R31,若〈x,x〉>0,〈x,x〉=0或〈x,x〉<0,则x分别叫做类空向量、类光向量或类时向量.向量x∈R31的范数定义为:∥x∥=√sign(x)〈x,x〉,若‖x‖=1,则x叫做单位向量.其中sign(x)表示x的符号,当x是类空、类光或类时向量时,它的取值分别为:1,0或-1.本文考虑的曲线均为非类光曲线.若无特别声明,文中涉及的曲线和映射均是C∞的.设γ:I→R31;γ(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是R31中的正则曲线,(即对任意t∈Ι‚其中I是一个开区间.对任意的t∈I,当〈γ˙(t),γ˙(t)〉＞0‚〈γ˙(t),γ˙(t)〉=0‚〈γ˙(t),γ˙(t)〉＜0,曲线γ分别叫做类空曲线、类光曲线或类时曲线.若γ是类空曲线或类时曲线,则称γ为非类光曲线.非类光曲线以γ(t0),t0∈I为起点的弧长为s(t)=∫t0t∥γ˙(x)∥dx,且‖γ′(s)‖=1,其中γ′(s)=dγds(s).所以当‖γ′(s)‖=1时,称非类光曲线的参数s为弧长参数.记t(s)=γ′(s),称之为γ在点s处的切向量.将曲线γ在点s处的曲率记为k(s)=|〈γ″(s),γ″(s)〉|.若k(s)≠0,则曲线γ在点s处的主法向量n(s)由γ″(s)=k(s)·n(s)给出.记ε(γ)=sign(t(s)),δ(γ)=sign(n(s)).b(s)=t(s)∧n(s)叫做曲线γ在s处的副法向量,且sign(b(s))=-ε(γ)δ(γ).则有以下的Frenet-Serret型公式成立.{t′(s)=k(s)⋅n(s)‚n′(s)=-ε(γ)⋅δ(γ)k(s)⋅t(s)+ε(γ)⋅τ(s)⋅b(s)‚b′(s)=τ(s)⋅n(s).其中τ(s)是曲线γ在点s处的挠率.这是研究R13中非类光曲线的基本公式,对任意的单位速度曲线γ:I→R13,将D(s)=τ(s)t(s)-κ(s)b(s)和D∼(s)=τκ(s)t(s)-b(s)分别称为曲线γ(s)的达布向量和修正达布向量.曲面RDγ(s,u)=γ(s)+uD∼(s)=γ(s)+u((τ/κ)t-b)(s)称为曲线γ(s)的从切可展曲面.并用Im(S1,R13)表示τ≠0,κ≠0的非类光曲线γ:S1→R13的集合.本文的目的是给出从切可展曲面RKγ(s,u)在通有条件下的奇点分类,主要结果如下:定理1.1如果在Im(S1,R31)中考虑Whitney-C∞拓扑,那么满足性质(1)和(2)的全体曲线构成的集合是Im(S1,R13)中的剩余集合.(1)满足(τ/κ)″(s)=0的点s∈S1的个数是有限的;(2)不存在满足(τ/κ)″(s)=(τ/κ)ue087(s)=0的点s∈S1.定理1.2设γ:I→R13为非类光单位速度曲线,则有以下结论成立:(a)曲线γ的从切可展曲面RDγ在点γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))处局部上微分同胚于尖点型曲面C×R当且仅当(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0);(b)曲线γ的从切可展曲面RDγ在点γ(s0)+u0((τ/κ)(s0)t(s0)-b(s0))处局部上微分同胚于SW当且仅当(τ/κ)′(s0)≠0,(τ/κ)″(s0)=0,(τ/κ)ue087(s0)≠0且u0=-1(τ/κ)′(s0).这里SW={(x1,x2,x3)|x1=3u4+u2v,x2=4u3+2uv,x3=v}是燕尾,C={(x1,x2)|x12=x23}是通常的尖点.2f速度曲线方程的形式在此引入法方向的距离函数族,它对于研究RDγ的奇点分类是非常有效的.设γ:I→R13是单位速度曲线且满足κ≠0,τ≠0.现在在开区间I上定义一族具有三个参数光滑函数.G:I×R13→R,G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉,并称G为曲线γ的法方向上的距离函数.对任意给定的v∈R13,记gv(s)=G(s,v).关于曲线法方向的距离函数族,通过直接计算可获得下面结论:命题2.1设γ∶I→R13为单位速度曲线,κ≠0且τ≠0,则:(1)gv(s)=0当且仅当v-γ(s)=λt(s)+μb(s),其中λ,μ为任意实数;(2)gv(s)=g′v(s)=0当且仅当v-γ(s)=u(τκ(s)t(s)-b(s)),其中u为任意实数;(3)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=0当且仅当v-γ(s)=-1(τ/k)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))‚(τ/κ)′(s)≠0;(4)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=0当且仅当v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))‚(τ/κ)′(s)≠0‚(τ/κ)″(s)=0;(5)gv(s)=g′v(s)=g″v(s)=gue087v(s)=gv(4)(s)=0当且仅当v-γ(s)=-1(τ/κ)′(s)(τκ(s)t(s)-b(s))‚(τ/κ)′(s)≠0‚(τ/κ)″(s)=0‚(τ/κ)‴(s)=0.3df局部微分同胚本节将应用函数芽奇点理论的某些结果.设F:(R×Rr,(s0,x0))→R是一函数芽,称F为f的r参数开折,其中f(s)=Fx0(s,x0).若对所有1≤P≤κ,都有f(p)(s0)=0,且f(k+1)(s0)≠0,称f在点s0处有Ak类奇点.若对所有1≤p≤k,都有f(p)(s0)=0,则称f在点s0处具有A≥k类奇点.设F为f的单参数开折且f在点s0处具有Ak(k≥1)类奇点.记点s0处的偏导数∂F∂xi的(k-1)导网为j(k-1)(∂F∂xi(s,x0))(s0)=∑j=1k-1αjisj‚i=1⋯r.若k×r阶系数矩阵(α0i,αji)的秩为k(k≤r),则称F为f的通用开折,其中α0i=∂F∂xi(s0‚x0).并称DF={x∈Rr|F(s,x)=∂F∂s(s,x)=0}为F的判别式集合.则有以下定理(参考文献).定理3.1设F:(R×Rr,(s0,x0))→R是f的r参数通用开折,且f在点s0处具有Ak类奇点.(a)若k=1,则DF局部微分同胚于{0}×Rr-1;(b)若k=2,则DF局部微分同胚于C×Rr-2;(c)若k=3,则DF局部微分同胚于SW×Rr-3.对于法线方向的距离函数G,有以下命题:命题3.1如果gv0(s)在点s0处有Ak(k=1,2,3)类奇点,那么G(s,v)是gv0(s)的通用开折.证明设v=(v1,v2,v3),γ(s)=(x1(s),x2(s),x3(s)),n(s)=(n1(s),n2(s),n3(s)),G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉=-(v1-x1(s))n1(s)+(v2-x2(s))n2(s)+(v3-x3(s))n3(s),∂G∂v1=-n1(s),∂G∂v2=n2(s),∂G∂v3=n3(s),j2(∂G∂v1(s,x0))(s0)=-n′1(s0)s-12n″1(s0)s2,j2(∂G∂vi(s,x0))(s0)=n′i(s0)s+12n″i(s0)s2(i=2‚3).(ⅰ)当gv(s)在点s0处有A1类奇点,需证1×3矩阵(-n1(s0),n2(s0),n3(s0))的秩为1.因为n(s0)≠0,所以结论是显然的.(ⅱ)gv(s)在点s0处有A2类奇点当且仅当v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0)),(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0,即(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.当gv(s)有A2类奇点,需证2×2矩阵(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0))的秩为2,该结论可由下边的结论得出.(ⅲ)gv(s)在点s0处有A3类奇点当且仅当v-γ(s0)=-1(τ/κ)′(s0)(τκ(s0)t(s0)-b(s0))‚(τ/κ)′(s0)=(1/κ2)(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0‚(τ/κ)″(s0)=0‚(τ/κ)‴(s0)≠0,当gv(s)在点s0处有A3类奇点,需证3×3矩阵(-n1(s0)n2(s0)n3(s0)-n′1(s0)n′2(s0)n′3(s0)-12n″1(s0)12n″2(s0)12n″3(s0))是非奇异的.以上矩阵的行列式值为-12(n(s0),n′(s0),n″(s0))=-12〈n(s0)∧n′(s0)‚n″(s0)〉=-ε(γ)2(τ′κ-κ′τ)(s0)≠0.即3×3矩阵的秩为3.因此证明完毕.有了以上的准备工作,可给出定理3.1的证明.由命题2.1,可知法向距离函数G(s,v)=〈v-γ(s),n(s)〉的判别式集合为DG={v|v=γ(s)+u(τκ(s)t(s)-b(s))},它恰恰是曲线γ(s)的从切可展曲面RDγ(s,u),由命题3.1,可知G(s,v)为Gv0(s)的通用开折,对G(s,v)应用定理3.1即可完成对定理1.2的证明.4/主要研究从切可展曲面的几何性质.由上面的命题可知函数(τ/κ)′(s)和修正达布向量D(s)=(τ/κ)(s)t(s)-b(s)是重要的几何不变量.如果(τ/κ)′(s)=0,那么曲线γ(s)是R13中的螺线.对于单位速度曲线γ:I→R31,单位切曲线t∶I→S2叫做γ的球面象.并且该曲线γ的球面切象的测地曲率为-δ(γ)(τ/κ),称其为γ的圆锥测地曲率.设γi:I→R13从切可展曲面到非类光正则曲线γ1p(s0)=γ2(p)(t0)(0≤p≤k),γ1k+1(s0)≠γ2(k+1)(t0),那么就称γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)点切触.由曲率和挠率的定义,有以下两个命题成立.命题4.1若γ1(s0)和γ2(t0)有(k+1)点切触,则(τ/κ)1(p)(s0)=(τ/κ)2(p)(t0)(0≤p≤k-3),且(τ/κ)(k-2)1(s0)≠(τ/κ)2(k-2)(t0).命题4.2设γ:I→R13为非类光正则曲线,且τ(s0)≠0,κ(s0)≠0,则存在开区间s0∈J⊂I上惟一的螺线g:J→R13使得g(s0)=γ(s0),g的曲率为κ(s),g在s0的挠率为τ(s0)且γ和g在s0有至少4点切触.证明只要在初始条件g(s0)=γ(s0),g′(s0)=γ′(s0),g″(s0)=γ″(s0),gue087(s0)=γue087(s0)下,解出方程κg(s)=κ(s),τg(s)=(τ/κ)(s0)κ(s)就可以证明命题,命题中的螺线g叫做γ在s0的密切螺线.所以从切可展曲面的奇点描述了曲线和螺线的差别程度.关于非类光曲线的从切可展曲面有如下性质:命题4.3设S为直纹面,γ(s)是S上曲率处处不为零的非类光正则曲线,则以下条件是相互等价的:(1)S是γ(s)的从切可展曲面;(2)s在p的s的法线上的切平面证明因为S是可展曲面,则沿通过p的直母线的S的切平面是同一个.因为γ(s)是S的测地线且与母线横截,所以γ(s)在p=γ(s0)处的主法线与S在p∈S的法线重合,即S在p=γ(s0)处的切平面与γ(s)在p=γ(s0)处的从切平面重合.由于沿着通过p的直母线的S的切平面是固定的,所以S是γ(s)的从切平面的包络.证明完毕.5单次pk变换考虑了三维Minkowski空间中非类光曲线的Monge?-Taylor映射.设γ:I→R13为正则曲线,I是三维Minkowski空间中单位圆S1上的连通开子集.现在选择一族光滑单位向量n(t),它是γ在t处的法线,‖n(t)‖=1,且对任意t∈I,〈n(t),t(t)〉=0.也可以获得另一族光滑单位向量b(t)=t(t)∧n(t).用由t(t),n(t),b(t)张成的正交直线作为曲线在点γ(t)处的坐标轴,依赖于曲线的移动坐标轴上的单位点分别对应以上三个单位向量.注意此处不要求γ一定是单位速度曲线,其中γ(t0)=0.γ(I)局部上可以记为{(ζ,ft(ζ),gt(ζ))},且j1ft(0)=j1gt(0)=0.设Vk代表关于ζ的次数大于等于2小于等于k的多项式集合.对非类光曲线γ,有Monge?-Taylor映射μγ:I→Vk×Vk,μγ(t)=(jkft(0),jkgt(0)),(Vk×Vk可以等同于R1k-1×R1k-1=R12k-2,坐标记为(a2,…,ak,b2,…,bk)).当然μγ与n(t)的选取密切相关.这里,ai=ft(i)(0)i!‚bi=gt(i)(0)i!(2≤i≤k),即Vk×Vk={(a2ζ2+a3ζ3+…+akζk),(b2ζ2+b3ζ3+…+bkζk)},设Pk代表形式为Ψ(x,y,z)=((Ψ1(x,y,z),Ψ2(x,y,z),Ψ3(x,y,z))的映射ψ:R13→R13的集合,其中ψi(x,y,z)是关于x,y,z的次数≤k的多项式.元素ψ∈Pk由ψ1,ψ2与ψ3中单项式xiyjzk的系数决定,共有k3+6k2+11k+66个次数≤k的单项式xiyjzk,所以Pk可以看成Minkowski空间R1k3+6k2+11k+62.这个空间可以提供所需要的曲线和形变.为了使问题简化,假设曲线γ是常态的,并且γ(I)有界.恒同映射1R31:R13→R13自然是Pk(k≥1)中的元素.设γ满足以上假设,易知存在1R31的开邻域U⊂Pk,它有以下性质:若ψ∈U,则线性映射Tψ(γ(t)):R13→R13;v→Dψ(γ(t))·v满足把类时向量映成类时向量,类空向量映成类空向量.其中Dψ(γ(t))代表ψ在γ(t)处求导(事实上这两个条件可以写成γ(t)的开邻域上的两个代数不等式.所以由γ(S1)的紧性,满足以上两个条件的集合是有限个开集的交,自然是开集.因为映射ψ:R13→R13在包含γ(I)的开集上是微分同胚,向量n(t)被映成新向量Dψ(γ(t))n(t),它既不是零向量也不与ψ。γ在t处相切.把这个向量正交投射到ψ。γ在t处的法平面并将其正规化就得到nψ(t),且〈nψ(t),nψ(t)〉=δ(ψue0c9γ),nψ(t)=-ε(γ)(ψ˚γ)(Dψ(γ(t))n(t)+〈Dψ(γ(t))n(t),tψ〉tψ)∥Dψ(γ(t))n(t)+〈Dψ(γ(t))n(t),tψ〉tψ∥,其中,tψ表示曲线ψ。γ在t处的切向量.所以按照以上假设,选择1I∈Pk的一个开邻域U,它是由把包含γ(I)的开集同胚的以其象集的多项式映射构成的集合.现在证明了存在光滑映射:μ:S1×U→Vk×Vk,μ(-,ψ)是ψ。γ应用向量族nψ(t)的Monge?-Taylor映射.因此有以下定理.定理5.1设γ是非类光曲线,Q是Vk×Vk=R2k-2的一个子流形.对包含恒同映射的某个开集U1⊂U,由μ(t,ψ)=μψue0c9γ(t)定义的映射μ:S1×U→Vk×Vk与Q横截(事实上,可以证明μ是淹没映射,不需要考虑Q的情形).通过直接计算,可以得到以下引理.由于计算过程繁琐,在此省略证明.引理5.1设γ:S1→R13,γ(t)=(ζ,ft(ζ),gt(ζ))=(ζ,a2ζ2+a3ζ3+…,b2ζ2+b3ζ3+…),γ(t)是满足ζ(t0)=0的非类光曲线,则:(1)在t0处κ=0当且仅当a22+b22=0;(2)(τ/κ)′(t0)=0当且仅当f1(a2,a3,a4,b2,b3,b4)=0,其中f1=4(a2b4-a4b2)(a22+b22)-(9a2a3+9b2b3)(a2b3-a3b2);(3)(τ/κ)″(t0)=0当且仅当f2(a2,a3,a4,a5,b2,b3,b4,b5)=0,其中f2=12(a2b3-a3b2)(a22+b22)3+4(3a3b4-3a4b3+5a2b5-5a5b2)