desi专题片空间中的紧致类时子流形

desi专题片空间中的紧致类时子流形

1desick空间中的紧致类空子流形以nn和pn（c）为单位，n和p维指数为n，具有常截面曲率c（c）0的desitt空间，曲线张量场为k，nn和pn（c）的诱导测量值为。设Mn是Nnn+p(c)中的n维紧致类时子流形,σ表示Mn的第二基本形式模长平方,Rmax=supRijij和Rmin=infRijij分别表示Mn上每点截面曲率的上、下确界.对于deSitter空间中的紧致类空子流形,目前已有许多研究结果.文献将deSitter空间中的子流形分类为类空、类光和类时子流形.本文参考文献[7-12],通过计算deSitter空间中类时子流形的Ricci恒等式和第二基本形式长度平方的Laplacian,获得了如下deSitter空间中的紧致极大类时子流形成为全测地子流形的充分条件.定理1设Mn是deSitter空间Nnn+p(c)中的n维紧致极大类时子流形,如果下列条件之一成立:1)当时,Mn的第二基本形式长度平方σ满足σ<n(c-2Rmax);2)当时,Mn的第二基本形式长度平方σ满足3)当时,Mn的第二基本形式长度平方σ满足则Mn是的全测地子流形.定理2设Mn是deSitter空间Nnn+p(c)中的n维紧致极大类时子流形,如果下列条件之一成立:则Mn是Nnn+p(c)的全测地子流形.2nnpln-pc的结构方程约定各类指标范围如下:1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p;1≤A,B,C,…≤n+p.记Lnn+p+1是n+p+1维实向量空间赋予伪度量其中:v=(v1,…,vn+p,vn+p+1)∈Lnn+p+1;w=(w1,…,wn+p,wn+p+1)∈Lnn+p+1.对于非零向量时,分别称向量v为类空向量、类光向量和类时向量.令设Nnn+p(c)的度量所诱导的度量,x:Nnn+p(c)→Lnn+p+1是位置向量,映射X:U→Nnn+p(C)为浸入映射,X的像集Mn是Nnn+p(c)中的正则n维子流形,.在浸入映射X意义下Mn和U等同.易得Nnn+p(c)的度量形式是在伪Riemann标准正交标架{eA}下的第一、第二结构方程为n记Hααα=(hαij),,设hαij的一阶和二阶协变导数分别为hαij;k和hij;kl,其中i,j,k,l为Mn的切i∑h=1指标,α为Mn的法指标,由曲率张量场的相关概念,经过计算可得Mn在Nn+pn(c)中的Gauss方程、Ricci方程和Codazzi方程分别为将ω1,…,ωn+p限制到Mn上,由于ωα(e1)=…=ωα(en)=0,于是有对式(6)外微分并利用Cartan引理得又由式(2),(3),(4),(6),(7),经过计算可得在伪Riemann标准正交标架下,有从而可得deSitter空间中类时子流形的Ricci恒等式:设曲率张量场Kαijk的一阶共变导数为Kαijk;l,类似式(8),则有由式(5),(9),(11),得即hαij;kl=hαik;jl-Kαijk;l,当l=k时,有hαij;kk=hαik;jk-Kαijk;k.参考文献,再由式(1),(10)得经过计算有仿文献[10-11]的技巧,对一切实数A,有3理由3.1cooln相关定理及mn、n-pc的全测地子流形若Mn是deSitter空间Nnn+p(c)中的n维紧致极大类时子流形,则由极大子流形的定义有将式(13)代入式(12)得由于Hα=(hαij)是对称方阵,所以对固定的α,令hαij=λiαδij,则有将式(15)两边关于α求和,再由式(13)得经过计算易得将式(17)两边关于α,β求和,有此外,有如下Lincoln不等式成立:在式(14)中,令A≥1>0,又由式(16),(18),(19),得从而1)当时,g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)有最小值,因此当σ<n(c-2Rmax)时,式(20)右端非负,由Hopf极大原理知,σ为常数,从而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0对任意的i,j,α成立,所以Mn为Nnn+p(c)的全测地子流形.当σ=n(c-2Rmax)时,不等式(16),(18),(19)均为等式.2)当时,g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以当x→+∞时,g(x)有最小值时,式(20)右端非负,由Hopf极大原理知,σ为常数,从而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0对任意的i,j,α成立,所以Mn为Nnn+p(c)的全测地子流形.当时,不等式(16),(18),(19)均为等式.3)当,则式(20)右端非负,由Hopf极大原理知,σ为常数,从而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0对任意的i,j,α成立,所以Mn为Nnn+p(c)的全测地子流形.3.2设密度为nn+pnc的全测地子流形,引起相应的运动方程,引起相应的运动方程,引起相应的运动在式(14)中,令A≥1>0,由式(16),(18)和(21),得从而当σ=n(c-2Rmax)时,不等式(16),(18),(21)均为等式,从而有:由式(23)得p-1个trH22α=0,不妨设trH2n+2=trHn+3=…=trH2n+p=0,式(24)成立的充要条件是trH2n+1=…=trH2n+p.由式(25)得λαi=0(其中α=n+1,…,n+p),从而,又因为iMn为紧致极大类时子流形,所以Mn为Nn+pn(c)的全测地子流形.2)当,式(22)右端非负,由Hopf极大而Δσ=0,易得σ=0,即hαij=0对任意的i,j,α成立,所以Mn为Nn+pn(c)的全测地子流形.当时,不等式(16),(18),(21)均为等式,类似1)中证明可知,Mn为Nnn+p(c)的全测地子流形.3)当,类似1)中证明,易得Mn为Nnn+p(c)的全测地子流形.定义1若子流形,TqM,NqM分别表示在q处的切空间与法空间,对任意q∈Mn,若NqM只含有类空向量,则称Mn为Nn+pn(c)中的类时子流形.用h和σ分别表示Mn在Nn+pn(c)中的第二基本形式和第二基本形