停线-域相容性的等价刻画

停线-域相容性的等价刻画

1对s1b32.的条件如上所述，merzbau居基尼fz、zua20或fzfz=fzzu、zu和z。并提出问题,对任意的停线λ、μ是否有Fλ∩Fμ=Fλ∧μ。聂赞坎在文中附加F3′、F4′条件,得到这个结果。本文在较弱的可乘性条件下,并附加F3′条件得到了这个结果,给出了停线σ-域相容的几个等价条件,证明了加强形式的停止定理,并推广了该加强形式的停止定理。设z1=(x1,y1),z2=(x2,y2)∈R2+,规定z1≤z2⇔x1≤x2,y1≤y2.z1<z2⇔x1<x2,y1<y2.对R2+中任意子集A,令ΗA-=∪z∈A[0,z),ΗA=∪z∈A[0,z],,ΗA+=∪z∈A(z,∞)其中[z1,z2)={z:z1≤z<z2},其余可类似定义。集A称为不可比较集,若HA∩HA+=ue001φ;集A称为分割线集,若它是闭的,不可比较且满足HA-∪HA+∪A∪(H{0}+)c=R2+用S表示R2+中全体分割线集。R2+中的线称为阶梯的,若它是由有限条平行于坐标轴的有限直线节组成的并,阶梯分割线称为简单分割线。(Ω,F,P)是完备概率空间,F的子σ-域族{Fz,z∈R2+}满足通常F1～F3条件。对任意子集A⊂R2+,令FA=∨z∈AFzF*z=F1s∨F2t,其中z=(s,t).映射λ:Ω-S∪{∞}称为停线,若∀z∈R2+,{w,z¯≤λ(w)}∈Fz,其中z¯={z′:z′≤z}∩{z′:z′<z}cˉz={z′:z≤z′}∩{z′:z<z′}c.设λ为停线,令Fλ={A:A∈F∞,A∩{λ≤Γ}∈FΓ,∀Γ∈S}F*λ={A:A∈F∞,A∩{λ≤ˉz}∈F*z,∀z∈R2+}定义1(可乘性)称σ-域族{Fz,z∈R2+}满足可乘性,若∀Γ1,Γ2∈S,有FΓ1∩FΓ2=FΓ1∧Γ2定义2(相容性)设R2+的任意子集族{Aα,α∈Δ}满足F∩Aαα∈Δ=∩α∈ΔFAα,称σ-域族{FAα,α∈Δ}是相容的。定义3若停线σ-域族{Fλα,α∈Δ}满足∩α∈ΔFλα=F∧α∈Δλα,则称停线σ-域族{Fλα,α∈Δ}是相容的。本文第三部分附加F3′条件。2tf条件下,(1)停线σ-域族是相容的。(2)分割线σ-域族是相容的。(3)σ-域族满足F3′条件及可乘性。(4)Fλ=F*λ,其中λ为停线。(5)FΓ=∩Γ＜ˉzF*z,其中Γ∈S证明(1)⇒(2)⇒(3),显然。往证(3)⇒(4)。Fλ⊂F*λ显然,只证F*λ⊂Fλ。设Γ为简单分割线,不妨设Γ=n∧i=1ˉzi。由文定理2.1知,停线λ是Fλ可测的,则{λ≤Γ}∈FΓ⊂F*zi。设A∈F*λ,则A∩{λ≤ˉzi}∈F*zi而A∩{λ≤Γ}=A∩{λ≤ˉzi}∩{λ≤Γ}∈F*zi.故A∩{λ≤Γ}∈n∩i=1F*zi=Fn∧iˉzi=FΓ。设∀Γ∈S,Γn为简单分割线列,且Γn↓Γ。则A∩{λ≤Γ}=∞∩i=1(A∩[λ＜Γi])∈∞∩i=1FΓi=FΓi。故A∈Fλ,即F*λ⊂Fλ。往证(4)⇒(1),由于F*λ=Fλ,只要证明∩α∈ΔF*λα=F*∧α∈Δλα即可,F*∧α∈Δλα⊂∩α∈ΔF*λα显然,现证∩α∈ΔF*λα⊂F*∧α∈Δλα。设A∈∩α∈ΔF*λα,即∀z∈R2+,有A∩{λα≤ˉz}∈F*z。而A∩{∧α∈Δλα≤ˉz}=∪α∈Δ(A∩[λα≤ˉz])∈F*z,∀z∈R2+。故A∈F*∧α∈Δλα。往证(4)⇒(5),只证∩Γ＜ˉzF*z⊂FΓ。设A∈∩Γ＜ˉzF*z,则对Γ<ˉz的每个z,都有A∈F*z。∀z∈R2+,A∩{Γ＜ˉz}={A当Γ＜ˉz时φ当Γ≮ˉz时}∈F*z故A∩{Γ≤ˉz}=∞∩n=1(A∩[Γ＜¯z+1n])∈∞∩n=1F*z+1n=F*z(这里用到F3′,因为(4)⇔(3))。故A∈F*Γ=FΓ,即∩Γ＜ˉzF*z⊂FΓ.往证(5)⇒(3)。先证F3′条件成立。设Γn,Γ∈S,且Γn↓Γ,只证∞∩n=1FΓn⊂FΓ。对Γ<ˉt的任意t,由Γn↓Γ,则存在N,当n≥N时,有Γn<ˉt。设A∈∞∩n=1FΓn,则A∈FΓN⊂F*t。故A∈∩Γ＜ˉtF*t=FΓ。再证可乘性,由FΓ=∩Γ＜ˉtF*t及集合运算易得。推论1在F3′条件下,σ-域族{Fz,z∈R2+}满足可乘性的充要条件是对任意两个停线λ,μ,有Fλ∩Fμ=Fλ∧μ。推论2在F3′条件下,σ-域族{Fz,z∈R2+}满足可乘性和F4条件等价于F4′条件。证明若σ-域族{Fz,z∈R2+}满足F4条件,由文命题7知,FΓ1、FΓ2关于FΓ1∩FΓ2条件独立,而FΓ1∩FΓ2=FΓ1∧Γ2。故FΓ1、FΓ2关于FΓ1∧Γ2条件独立。故F4′成立。反之由文定理1知F4′条件等价于G(F4′)条件,从而易知可乘性与F4条件成立。3m为轴上为零的强监定义4称形如(i2n,j2n)(i,j为整数,n为自然数)的点为二进点。定义5设λ是有界阶梯停线,则按下述方法定义Mλ:设Z1(ω),Z2(ω),…,Zn(ω).(n≥3),∀ω∈Ω,为第一个坐标增加排列的λ(ω)的暴露点,这时Μλ≙n-1∑i=1(ΜΖi+1∨Ζi-ΜΖi)-ΜΖn。定义6设λ为有界阶梯停线,Hλ表示λ的历史,则Hλ为有限个矩形之并,定义Mλ,Mλ≙M(Hλ).定理2设M为轴上为零的强鞅,Z0∈R2+,λ,μ为二进阶梯停线,且λ≤Ζ¯0,μ≤Ζ¯0,则E(Mλ|Fμ)=Mλ∧μ。证明由文知,Mλ∈Fλ,从而Mλ∧μ∈Fλ∧μ⊂Fμ。不妨设λ、μ是暴露点形如(i2n,j2n)的阶梯停线,且λ≤Ζ¯0,μ≤Ζ¯0。用T表示形如(i2n,j2n)的二进点组成的集合,若t∈T,其中t+=(i+12n,j+12n),记Δt=(t,t+],于是Μλ-Μλ∧μ=Μ(Ηλ-Ηλ∧μ)=∑t∈ΤΜ(Δt)1(λ∧μ≤t¯)1(t¯＜λ)设A∈Fμ,则A∩(λ∧μ≤t¯)∩(t¯＜λ)={[A∩(λ≤t¯)]∪[A∩(μ≤t¯)]∩(t¯＜λ)}=[A∩(λ≤t¯)∩(t¯＜λ)]∪[A∩(μ≤t¯)∩(t¯＜λ)]因为(λ≤t¯)c=(t¯＜λ),故A∩(λ≤t¯)∩(t¯＜λ)=φ。又因为A∈Fμ,则(μ≤t¯)∈Ft¯=Ft*。由文定理2.2知,(t¯＜λ)∈Ft¯⊂Ft*,故A(λ∧μ≤t¯)∩(t¯＜λ)∈Ft*。于是E[(Μλ-Μλ∧μ)1A]=∑t∈ΤE(E(Μ(Δt)1A1(λ∧μ≤t¯)1(t¯＜λ)|Ft*))=∑t∈ΤE(1A1(λ∧μ≤t¯)1(t¯＜λ)E(Μ(Δt)|Ft*))=0即E[Mλ-Mλ∧μ|Fμ]=0故E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ。定理3(加强形式的停止定理)设M为轴上为零的强鞅,Ζ0∈R+2,λ≤Ζ¯0,μ≤Ζ0的停线,则E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ。证明设λn,μn为二进阶梯停线列,且λn↓λ,μn↓μ。由文及定理2有E[ΜΖ¯0|Fλn|Fμn]=E[Μλn|Fμn]=Μλn∧μn=E[ΜΖ¯0|Fλn∧μn].由文引理2.11知,当n→∞时,有E[ΜΖ¯0|Fλ|Fμ]=E[ΜΖ¯0|Fλ∧μ]故由文定理1,有E[Μλ|Fμ]=E[FΖ¯0|Fλ|Fμ]=E[ΜΖ¯0|Fλ∧μ]=Μλ∧μ.定理4设M为轴上为零的强鞅,Ζ0∈R+2,λ≤Ζ¯0,μ为任意的停线,则有E[Mλ|Fμ]=Mλ∧μ.证明从定理2,定理3的证明过程看,若μ为