一类p,q连接的类时曲线

一类p,q连接的类时曲线

在广义的理论中，当连接到（p，q）的地线时，当r（）对应于p时，则测地线（）不连接到p或p时。当p或p时，当p（q）之间存在r时，r（）可以通过轻微的变分连续形成连接p和q的类时曲线。我们证明了这一类日曲线的阶乘曲线，即在类光测量地球时，其固有加速度趋于无限。下面给出类光测地线的变分的定义.设(M,gab)是具有洛伦兹号差的四维弯曲时空,γ0:[0,λq]→M是M中的类光测地线,记为γ0(λ),λ是它的仿射参量.类光测地线γ0(λ)连接p,q两点,且沿类光测地线γ0(λ)在(p,q)间存在一点r共轭于p点.类光测地线γ0的变分是C1映射σ:(-ε,ε)×[0,λq]→M,满足1)σ(0,λ)=γ0(λ);2)σ(u,0)=p,σ(u,λq)=q;3)存在λ1,…,λn使得0=λ1<λ2<…<λn=λq把区间[0,λq]分成n-1个分区间,σ在每个分区间(-ε,ε)×[λi,λi+1]上是C3的;4)对于每个常数u,u∈(-ε,ε)和u≠0,σ(u,λ)是类时曲线,记为γu(λ).由条件2)看出,这是端点固定的变分.记γu(λ)的切矢为(∂/∂λ)au≡vau,其中,va0是类光测地线γ0(λ)的切矢,满足类光测地线方程vb0∇bva0=0.(1)设曲线σ(u,λ)且λ=常数的切矢为(∂/∂u)a≡Za(u,λ),(2)定义类光测地线γ0(λ)上的变分矢量场Za(λ)为Za(λ)=Za(0,λ),则Za(u,λ)对vau的李导数为零,即vbu∇bZa(u,λ)=Zb(u,λ)∇bvau.(3)记gabvauvbu为-α2u,则-α2u=gabvauvbu,(4)用泰勒级数把-α2u展开,得-α2u=-α20+β1u+12β2u2+o(u3),(5)其中α20=gabva0vb0=0.(6)为了使γu(λ)是类时曲线,-α2u对u的一阶导数必须满足uβ1=u[∂(-α2)/∂u|u=0]≤0,下面证明β1=0(参看文献).由式(3)得∂(-α2u)∂u=(∂∂u)c∇c[gabvauvbu]=2gabvau(∂∂u)c∇cvbu=2gabvauvcu∇c(∂∂u)b=2vcu∇c[gabvau(∂∂u)b]-2gab(∂∂u)bvcu∇cvau=2∂∂λ[gabvau(∂∂u)b]-2gab(∂∂u)bvcu∇cvau;(7)再由式(1)可得β1=∂(-αu2)∂u|u=0=2∂∂λ[gabv0aΖb]=2dhdλ,(8)其中,由于变分矢量场Za在类光测地线γ0(λ)上是连续的,h(λ)=gabv0aZb在类光测地线γ0(λ)上也是连续的.从变分映射σ(u,λ)的定义可知,σ(u,0)=p,σ(u,λq)=q,故Za(0)=Za(λq)=0.(9)因而h(0)=h(λq)=0,除非β1u=0,否则h(0)=h(λq)=0且β1u<0是不可能的,即只有β1u=0才可能使γu是类时曲线.由于u≠0,所以得到β1=0.由β1=0可得h=gabv0aZb=0,(10)即变分矢量场Za是垂直于类光测地线γ0的切矢v0a的.同时可得-αu2=gabvuavub=12β2u2+o(u3).(11)类时曲线γu(λ)上的参数λ一般不是该曲线上的固有时τ,参数λ和τ之间的关系由下列公式决定:gab(∂/∂τ)ua(∂/∂τ)ub=-1,(12)vua=(∂/∂λ)ua=(dτ/dλ)(∂/∂τ)a.(13)由式(4),我们可得(dτ/dλ)2=αu2.(14)同样,矢量A˜ua定义为A˜ua=vuc∇cvua,(15)它与类时曲线γu(λ)上的固有加速度Aa不同.Aa的定义为Aa=(∂∂τ)b∇b(∂∂τ)a,(16)这2个矢量的关系为A˜ua=αu2aa+12αu2vuavub∇bαu2,(17)由式(17)和(11)得gabA˜uaA˜ub=αu4AaAa-14αu2[1αu2∂αu2∂λ]2=14β22AaAau4+18β2[dβ2dλ]2u2+o(u3).(18)这是一个非常重要的公式.下面,我们推导另一个重要的公式.Zd(u,λ)∇d(vuc∇cvua)=(Zd(u,λ)∇dvuc)∇cvua+vcuZd(u,λ)∇d∇cvua=(Zd(u,λ)∇dvuc)∇cvua+vcuZd(u,λ)∇c∇dvua+RdcaevcuveuZd(u,λ)=(Zd(u,λ)∇dvuc)∇cvua+vuc∇c[Zd(u,λ)∇dvua]-(vuc∇cZd(u,λ))∇dvua+RdcaevcuveuZd(u,λ)=vud∇d(vuc∇cZa(u,λ))+RdcaevcuveuZd(u,λ),即Ζd(u,λ)∇dA˜ua=Ζd(u,λ)∇d(vuc∇cvua)=vud∇d(vuc∇cΖa(u,λ))+RdcaevucvueΖd(u,λ).(19)选择沿类光测地线γ0(λ)平移的伪正交标架E1a,E2a,E3a,E4a,满足E4a=(∂/∂λ)0a=v0a;gabEaiEbi=1,i=1,2;gabEaiEib=0,i=3,4;gabEaiEjb=0,i=1,2,j=3,4;gabE3aE4b=-1;gabEa1Eb2=0,由式(10)容易得到Za(0,λ)=Z1E1a+Z2E2a+Z4E4a.(20)对于λ等于常数,上述标架的4个矢量是常矢量,可沿σ(u,λ)且λ=常数的曲线对它们进行平移,得到Eia(u,λ),i=1,2,3,4,(21)满足当u=0时Eia(0,λ)=Eia,i=1,2,3,4.(22)这样,矢量A˜ua可分解为A˜ua=∑i=14A˜uiEia(u,λ),(23)且有[(∂∂u)d∇dA˜ua]u=0=∑i=14[Eia(u,λ)(dA˜uidu)]u=0=∑i=14Eia(dA˜uidu)u=0.(24)由式(19),并对其取极限u→0,得[(∂/∂u)d∇dA˜ua]u=0=v0d∇d(v0c∇cΖa(λ))+Redcav0cv0eΖd(λ).(25)记C˜a=v0d∇d(v0c∇cΖa)+Redcav0cv0eΖd,(26)即C˜a=∑i=14C˜iEia.(27)由式(20)和黎曼曲率张量Rabcd的反对称性质可知,式(25)的第2部分与v0a的缩并为零,这样由式(25)推出(dA˜u3/du)u=0=C˜3=0,(28)所以[(∂/∂u)d∇dA˜ua]u=0=(dA˜u1/du)u=0E1a+(dA˜u2/du)u=0E2a+(dA˜u4/du)u=0E4a=C˜1E1a+C˜2E2a+C˜4E4a,(29)(dA˜ui/du)u=0=C˜i,i=1,2,4.(30)式(30)的详细形式由式(25)决定.首先假定C˜1C˜1+C˜2C˜2>0(31)普遍成立(后面我们证明这个假定是普遍成立的),这意味着A˜u1=uC˜1+o(u2),(32)A˜u2=uC˜2+o(u2),(33)A˜u4=uC˜4+o(u2),(34)gabA˜uaA˜ub=u2(C˜1C˜1+C˜2C˜2)+o(u3).(35)从式(11)可得β2<0.除非在u趋于零时,A2=AaAa趋于无穷大,否则,式(35)、(31)与式(18)是相矛盾的,所以,我们得到类时曲线γu(λ)的固有加速度在u趋于零时为无穷大.其次,我们证明式(31)在γ0(λ)上是普遍成立的.假设它不成立,惟一的选择是C˜1C˜1+C˜2C˜2=0在类光测地线γ0(λ)的整个区间[0,λ]上成立,即C˜1=C˜2=0在类光测地线γ0(λ)的整个区间[0,λ]上成立.我们先计算β2=[12∂2∂u2(-αu2)]u=0.12∂2(-αu2)∂u2=∂2∂λ∂u[gabvua(∂∂u)b]-(∂∂u)d∇d[gab(∂∂u)bvuc∇cvua]=∂2∂λ∂u[gabvua(∂∂u)b]-[gabvuc∇cvua](∂∂u)d∇d(∂∂u)b-[(∂∂u)a(∂∂u)d∇d(vuc∇cvua)],(36)再由式(19)可得β2=[∂2∂λ∂u(gabvuaΖb(u,λ))]u=0-[Ζa(λ)v0d∇d(v0c∇cΖa(λ))+Rdcaev0cv0eΖd(λ)Ζa(λ)].(37)由式(37)、(20)容易得到β2-[∂2∂λ∂u(gabvuaΖb(u,λ))]u=0=-[Ζav0d∇d(v0c∇cΖa)+Rdcaev0cv0eΖdΖa]=ΖaC˜a=Ζ1C˜1+Ζ2C˜2=0‚(38)这等价于Za(λ)v0d∇d(v0c∇cZa(λ))=-Rdcaev0cv0eZd(λ)Za(λ).(39)通过式(39),我们得出Za(λ)v0d∇d(v0c∇cZa(λ))在整个区间[0,λ]是连续的,故变分矢量场Za(λ)在整个区间[0,λ]是C2的,由式(3)知,矢量vau是在整个区间[0,λ]为C1的.通过式(38),得∫0λqβ2dλ=∫0λqdλ[∂2∂λ∂u(gabvua(∂∂u)b)]u=0=[[∂∂u(gabvua(∂∂u)b)]u=0]0λq=0,(40)其中,由于是固定端点的变分,因而Za=Za(0,λ)在p,q