测准关系式的几种常见推导模式

测准关系式的几种常见推导模式

1现代原子系统半定量结果的一般理论1927年，德国哲学家赫塞n伯（heienb）提出了云室中电子轨迹非常大的现象，这是力学的基本原则。它反映了自然界的客观规律,反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。原子系统中的许多半定量结果都可以由这一原理得出。测不准原理对不同的物理量的表达形式不同,一般常见的形式有以下几种:ΔPiΔqi≥h(i=x、у、z)ΔEΔt≥h(1)ΔLΔΦ≥h在量子力学的精确计算中以上各式的h应为h/4π。测不准原理还告诉我们:一对共轭力学量之间要同时确定其值的精确度受到一定的限制,这种与精确值之间的差值不是误差,而是偏差,这不是由于实验设备的精度和实验操作人员的技术能力的高低所引起的。而是由量子理论本身所决定的,或者说是由客观世界的物质粒子的波粒二象性这种内禀属性所决定的。因此,所有有关量子力学的书籍或多或少都要讨论测不准原理,并且导出测不准关系式。2不能测量的关系式的常见导出模式测不准关系式的常见导出模式大致可以分为以下三种类型。2.1量表px如果单缝的宽度为a,那么电子的坐标不确定度Δx=a。根据衍射实验我们知道动量不确定度ΔPx=Pxsinθ,根据衍射理论有λ=asinθ,因此有Δx·ΔPx=aPxsinθ=Pxλ,得Δx·ΔP=h。又因为次级衍射的存在,所以有Δx·ΔPx≥h。2.2测不准关系式如:用一维无限深势阱中基态粒子的坐标与动量的关系可以导出测不准关系式。设势阱宽度为a,坐标不确定度Δx>a/2π,动量不确定度ΔPx=h/2a,得Δx·ΔPx>h/4π。2.3如果算符F∧F∧和G∧G∧的对易关系为F∧G∧−G∧F∧=iK∧‚F∧G∧-G∧F∧=iΚ∧‚那么有(ΔF)2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯⋅(ΔG)2¯¯¯¯¯¯¯¯¯≥k¯2/4(ΔF)2¯⋅(ΔG)2¯≥k¯2/4。而坐标和动量的对易关系为xP∧x−P∧xx=ih/2πxΡ∧x-Ρ∧xx=ih/2π,因此有(Δχ)2¯¯¯¯¯¯¯¯¯⋅(ΔPx)2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯≥h2/16π2(Δχ)2¯⋅(ΔΡx)2¯≥h2/16π2,得Δx·ΔPx≥h/4π。3用一个条件工程构造一个测不准关系式,一个基本假设本文在此推荐另一种导出测不准关系式的方法——由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。普朗克(Plank)在解释黑体辐射的能量分布规律时提出的能量量子化:E=nhvn=1,2,3,……(2)玻尔(Bohr)在氢原子理论中提出轨道量子化条件:PΦ2π=nhn=1,2,3,……(3)德布罗意(deBrge)在总结了数百年来对光和实物粒子的研究情况后提出了实物粒子的波粒二象性:E=hv(4)P=h/λ(5)由(2)式、(4)式整理可得:ET=h(取n=1)(6)由(3)式整理可得:PΦ2π=h(取n=1)(7)由(5)式整理可得:Pλ=h(8)在(6)、(7)、(8)这三式中,每一式都含有一个守恒量,即E、PΦ、P,它们各自与对应的周期的乘积均为一个共同的常数h。这是几个基本假定的一个共同特性。再将(6)式、(7)式、(8)式与(1)式比较得另一个共有特性,即:每一个测不准关系式都有一个基本假定与之对应,即:ΔPiΔq1≥h−→Pλ=hΔEΔT≥h−→ET=hΔLΔΦ≥h−→PΦ2π=hΔΡiΔq1≥h→Ρλ=hΔEΔΤ≥h→EΤ=hΔLΔΦ≥h→ΡΦ2π=h并且都可以由假定的基本式简洁地得出相应的测不准关系式。下面说明一个,其余二个可以类推。由:Pλ=h取其增量:λ·ΔP+P·Δλ=0ΔP=(-P/λ)Δλ式中的负号表示P和λ这一对共轭力学量中一个增加,而另一个就必然减少。在此处我们只考虑偏差可以不计负号,因此上式变为:ΔΡ=(P/λ)Δλ(9)由量子论我们知道,与一个实际的微观物质粒子的某一力学量的增量相缔合的是一个“波包”。而实际的“波包”都可以看作是由ΔP(或Δλ)内许多个单色平面正弦波的叠加而成。因此有:Ψ(xt)=∫ΔpCpΨp(χt)dp=∫ΔλCλΨλ(χt)dλΨ(xt)=∫ΔpCpΨp(χt)dp=∫ΔλCλΨλ(χt)dλPλ=h中的P、λ都为统计平均值。而任意时刻沿x方向传播的平面波的传播增量Δχ必定为λ的整数倍,即:Δx=nλ(10)由(9)×(10)得ΔP·Δx=P(n