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圆锥曲线过焦点弦最短问题武安一中：郅武强直线与圆锥曲线位置关系是高考近几年解析几何命题的热点。弦长问题是我们常见问题，这里往往涉及到弦长最值。直线过圆锥曲线的焦点与圆锥曲线的相交弦何时最短，是学生比较困惑的地方。现对抛物线、椭圆、双曲线过焦点的弦何时最短证明如下：1.抛物线：的最小值.已知抛物线的标准方程为产=2px，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，求|A8|的最小值.若直线AB的斜率不存在，则\AB=2p若直线AB的斜率存在不妨设为k，则直线AB的方程为y=k(x-—)2r<y2=2px与抛物线联立方程组y=k(x-—)2消去7得*2-即S'+誓=0设A、B的坐标分别是(x,y)，(x,y)由焦点弦公式得:1 1 2 2|AB|=x+x+p=p+^—-+p=2p(1+k_)>2p故当直线AB和x轴垂直的时候|AB最小，即最小值为2p。2.椭圆已知椭圆的标准方程为当+兰=1，过椭圆右焦点F的弦交椭圆于A、B两点，a2b2求|AB|的最小值。解：如图所示： 设A、B点的坐标分别是A(x,y),B(x,y)1 1 2 2①若直线AB的斜率不存在则|AB|=年 \oQ X②设直线AB的斜率存在为k则直线AB的方程为7 y=k(x-C)与椭圆联立方程组得：

<y=k(x-c)买+y2=1 消去y得b(b2+a2k2)x2-2a2ck2x+a2c2-a2b2=0 x+x=:"^。；由焦半径公式可得:|AB|=\AF|+\BF|=2a-e(气+x2)=2a---:小二=2a-:。萝；2ac2 2ac22b2=2a— >2a— = b2 a2a—+a2k2- …、一•，.一， 2b2故当斜率k不存在时侯AB最短|AB|=一mina3.双曲线已知双曲线的方程为—y2=1，过双曲线的右焦点F的直线与双曲线的右支交a2 b2与A、B两点，求IAB|的弦长最小值。2b2a贝则AB=解： ①若直线AB的斜率不存在，则直线2b2a贝则AB=②若直线AB的斜率存在，不妨设斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x—c)与双曲线联立方程可得<△〉0x+x〉0消去y得消去y得(b2一a2k2)x2+2a2ck2x一a2k2c2一a2b2=0kxx〉012\AB=e(x\AB=e(x+x)—2ank>—或k<-— 由焦半径公式可得：a a

c2a2ck2 2ac2k2 2ac2 2c2 2b2—• —2a= —2a= —2a>—2a=aa2k2一b2 a2k2一b2 b2 a aa2一—k2 一 ,,2b2即直线所以当直线AB与x轴垂直时AB的长最小，

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