一元一次不等式知识点及典型例题

-.z.一元一次不等式考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式根本性质1、不等式两边都加上〔或减去〕同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：=1\*GB3①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。=2\*GB3②如果不等式乘以0，则不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，则就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，则不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：〔1〕去分母〔2〕去括号〔3〕移项〔4〕合并同类项〔5〕将*项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共局部，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数*都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法〔1〕分别求出不等式组中各个不等式的解集〔2〕利用数轴求出这些不等式的解集的公共局部，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型根底例题一不等式的概念：例判断以下各式是否是一元一次不等式？-*≥52*-y＜0二不等式的解：三不等式的解集：例判断以下说法是否正确，为什么？*=2是不等式*+3＜2的解。*=2是不等式3*＜7的解。不等式3*＜7的解是*＜2。*=3是不等式3*≥9的解四一元一次不等式：例判断以下各式是否是一元一次不等式－ｘ＜５２ｘ－ｙ＜０≥３ｘ例五．不等式的根本性质问题例1指出以下各题中不等式的变形依据1〕由3a>2得a>2)由3+7>0得a>-73〕由-5a<1得a>-4)由4a>3a+1得a>1例2用>〞或<〞填空，并说明理由如果a<b则1〕a-2()b-22〕--3)-3a-5()-3b-5例3把以下不等式变成*>a*<a的形式。*+4>75*<1+4*-*>-12*+5<4*-2例4实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则以下式子正确的选项是〔〕Acb>abBac>abCcb<abDc+b<a+b例５当０＜ｘ＜１时ｘ２，ｘ，，之间的大小关系是。例将以下不等式的解集在数轴上表示出来。*≥2*＜1*＜3的非负整数解-1六在数轴上表示不等式的解集：例解以下不等式并把解集在数轴上表示出来2*+3＜3*+2-3*+2≤5-≠28-2(*+2)＜4*-23-５－ｘ＋＜１－题型一：求不等式的特殊解例１〕求*+3＜6的所有正整数解２〕求10-4〔*-3〕≥2〔*-1〕的非负整数解，并在数轴上表示出来。３〕求不等式的非负整数解。４〕设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数题型二：不等式与方程的综和题例关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值围。不等式组{的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值围是？假设关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{的解是正整数，求整数Ｐ的值。题型三确定方程或不等式中的字母取值围例ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３〔ｘ＋ｋ〕的值是非正数关于*的方程3k－5*＝－9的解是非负数，求k的取值围在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值围。假设方程组{的解中*>y，求K的围。如果关于*的方程*+2m-3=3*+7的解为不大于2的非负数，求m的围。假设|2a+3|＞2a+3,求a的围。假设〔a+1〕*＞a+1的解是*＜1,求a的围。关于*的方程ｘ－的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。题型五求最小值问题例*取什么值时，代数式的值不小于的值，并求出*的最小值。题型六不等式解法的变式应用例根据以下数量关系，列不等式并求解。*的与*的2倍的和是非负数。C与4的和的30﹪不大于-2。*除以2的商加上2，至多为5。A与b两数和的平方不可能大于3。例ｘ取何值时，２〔ｘ－２〕－〔ｘ－３〕－６的值是非负数？例ｘ取哪些非负整数时，的值不小于与１的差。题型七解不定方程例求方程4*＋ｙ－２０＝０的正整数解。{无解，求ａ的取值围。题型八比拟两个代数式值的大小例Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大小关系8、常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，假设点P(m－3，m＋1)在第二象限，则m的取值围为()A．－1＜m＜3B．m＞3C．m＜－１D．m＞－１关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值围是〔〕A．B．C．D．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是〔〕A、B、C、D、把不等式组的解集表示在数轴上正确的选项是〔〕不等式的解集是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．假设不等式组有实数解，则实数的取值围是〔〕A． B． C． D．假设，则的大小关系为〔〕A． B． C．D．不能确定不等式—*—5≤0的解集在数轴上表示正确的选项是〔〕不等式＜的正整数解有()〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个把*不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如下图，则这个不等式组可能是〔〕A． B． C． D．不等式组，的解集是〔〕A．B．C．D．无解不等式组的解集在数轴上可表示为〔〕ABCD实数在数轴上对应的点如下图，则，，的大小关系正确的选项是〔〕A． B． C．D．如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则以下关系正确的选项是〔〕A．a＞c＞b B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．c＞a＞b不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是〔〕把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的〔〕A．B．C．D．用表示三种不同的物体，现放在天平上比拟两次，情况如下图，则这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为〔〕不等式组的解集在数轴上可表示为〔〕在数轴上表示不等式组的解集，正确的选项是〔〕二、填空题3*+4≤6+2(*-2),则的最小值等于________.不等式组的解集为．不等式组的整数解的个数为．关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值围是．不等式组的解集是．1不等式组的解集为－1＜*＜2，则(m＋n)2008＝__________．三、简答题解不等式组解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.假设不等式组的整数解是关于*的方程的根，求a的值。解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的*的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的*对应点在1的右边或－2的左边，假设*对应点在1的右边，由图〔17〕可以看出*＝2；同理，假设*对应点在－2的左边，可得*＝－3，故原方程的解是*=2或*=－3参考阅读材料，解答以下问题：〔1〕方程的解为〔2〕解不等式≥9；〔3〕假设≤a对任意的*都成立，求a的取值围解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.解不等式组解不等式组：并判断是否满足该不等式组．解不等式3*-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．解不等式组，并写出它的所有整数解.解不等式组并求出所有整数解的和．不等式复习1一：知识点回忆1、一元一次不等式〔组〕的定义：2、一元一次不等式〔组〕的解集、解法：3、求不等式组的解集的方法：假设a＜b，当时，*＞b；〔同大取大〕当时，*＜a；〔同小取小〕当时，a＜*＜b；〔大小小大取中间〕当时无解，〔大大小小无解〕二：小试牛刀1、不等式8-3*≥0的最大整数解是_______________.2、假设的解集是，则必须满足_______3、假设不等式组的解集是，则的取值围是________．4、假设，则、、之间的大小关系是________．5、如果一元一次方程的解是正数，则的取值围是________．7、不等式组的解集为*＜2，试求k的取值围______8、由*＞y得a*≤ay的条件是〔〕A.a＞0B.a＜0C.a≥0D.a≤09、由a＞b得am2＞bm2的条件是〔〕A.m＞0B.m＜0C.m≠0D.m是任意有理数三：例题讲解1、关于*的不等式2*+m>-5的解集如下图，则m的值为〔〕A,1B,0C,-1D,32、不等式2*+1<a有3个正整数解，则a的取值围是？3、关于*的不等式组的整数解共有3个，则a的取值围是多少？4、假设方程组的解满足，求整数的取值围。5、假设不等式组无解，求a的取值围.6、不等式组的解集是1＜*＜b．则a＋b的值？9、*工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，方案利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。〔1〕按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；〔2〕设生产A、B两种产品总利润为元，其中一种产品生产件数为件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？3、如果不等式组无解，则m的取值围是；4、*是哪些非负整数时，的值不小于与1的差5假设方程组的解、的值都不大于1，求的取值围。6、不等式组的整数解共有5个，则a的取值围是7、用假设干辆载重为8吨的汽车运一批货物，假设每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，假设每辆车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？8、*校准备组织290名学生进展野外考察活动，行共100件，学校方案租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行；乙种汽车每辆最多载30人和20件行。〔1〕设租用甲种汽车*辆，请你帮助学校设计所有可能的方案〔2〕如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。9、为执行中央“节能减排，美化环境，建立美丽新农村〞的国策，我市*村方案建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．满足条件的方案共有几种"写出解答过程．(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．一元一次不等式及其应用◆知识讲解1．一元一次不等式的概念类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．2．不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示．3．不等式的性质性质1：不等式两边加上〔或减去〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变，即如a>b，则a±c>b±c．性质2：不等式两边乘以〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，则ac>bc〔或>〕．性质3：不等式两边乘以〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，则ac<bc〔或>〕．不等式的其他性质：①假设a>b，则b<a；②假设a>b，b>c，则a>c；③假设a≥b，且b≥a，则a=b；④假设a≤0，则a=0．4．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以〔或除以〕同一个负数时，不等号要改变方向．5．一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等〞关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要．◆例题解析例1解不等式≥*-5，并把它的解集在数轴上表示出来．例2假设实数a<1，则实数M=a，N=，P=的大小关系为〔〕A．P>N>MB．M>N>PC．N>P>MD．M>P>N例3假设不等式-3*+n>0的解集是*<2，则不等式-3*+n<0的解集是_______．例4*公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产*种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购置机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格/〔万元/台〕75每台日产量/个10060〔1〕按该公司要求可以有几种购置方案？〔2〕假设该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，则为了节约资金应选择哪种购置方案？例5*童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业方案从六月份起进展工资改革．改革后每位工人的工资分两局部：一局部为每人每月根本工资200元；另一局部为每加工1套童装奖励假设干元．〔1〕为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元〔准确到分〕？〔2〕根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小争取六月份工资不少于1200元，问小在六月份应至少加工多少套童装？◆强化训练一、填空题1．假设不等式a*<a的解集是*>1，则a的取值围是______．2．不等式*+3>*的负整数解是_______．3．不等式5*-9≤3〔*+1〕的解集是______．4．不等式4〔*+1〕≥6*-3的正整数解为______．5．3*+4≤6+2〔*-2〕，则│*+1│的最小值等于______．6．假设不等式a〔*-1〕>*-2a+1的解集为*<-1，则a的取值围是______．7．满足≥的*的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于______．8．小明用100元钱去购置笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，则小明最多能买______支钢笔．9．*商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打______折出售此商品．10．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，假设要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．二、选择题11．不等式-*-5≤0的解集在数轴上表示正确的选项是〔〕ABCD12．如下图，O是原点，实数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则以下结论错误的选项是〔〕A．a-b>0B．ab<0C．a+b<0D．b〔a-c〕>014．如果不等式+1>的解集是*<，则a的取值围是〔〕A．a>5B．a=5C．a>-5D．a=-515．关于*的不等式2*-a≤-1的解集如下图，则a的取值是〔〕A．0B．-3C．-2D．-116．初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一彩色底片0.68元，扩印一照片0.50元，每人分一，将收来的钱尽量用掉的前提下，这照片上的同学最少有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个17．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如下图，则他们的体重大小关系是〔〕A．P>R>S>QB．Q>S>P>RC．S>P>Q>RD．S>P>R>Q18．*班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：三好学生优秀学生干部优秀团员市级323校级18612该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，则该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为〔〕A．3项B．4项C．5项D．6项三、解答题19．解以下不等式，并把解集在数轴上表示出来．〔1〕；〔2〕*-3≥．20．王女士看中的商品在甲，乙两商场以一样的价格销售，两商场采用的促销方式不同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的局部八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的局部九折优惠，则她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？21．甲，乙两家超市以一样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购置商品超出300元之后，超出局部按原价8折优惠；在乙超市累计购置商品超出200元之后，超过局部按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物*元〔*>300〕．〔1〕请用含*的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；〔2〕试比拟顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．22．福林制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作*种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条．〔1〕假设该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？〔2〕制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，假设该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23．*零件制造车间有工人20名，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，在这20名工人中，车间每天安排*名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．〔1〕请写出此车间每天所获利润y〔元〕与*〔人〕之间的关系式；〔2〕假设要使每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才适宜？24．足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，一支足球队在*个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了1场，得17分，请问：〔1〕前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？〔2〕这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？〔3〕通过比照赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于29分，就可以到达预期目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能到达预期目标？25．宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年到达550名，其中面向全省招收的“宏志班〞学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招20%，“宏志班〞学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班〞学生多少名？一元一次不等式和一元一次不等式组一．填空题：〔每题2分，共20分〕1．假设<，则；〔填“<、>或=〞号〕2．假设，则；〔填“<、>或=〞号〕3．不等式≥的解集是_______；4．当_______时，代数式的值至少为1；5．不等式的解集是______；6．不等式的正整数解为：；7．假设一次函数，当____时，；8．的与12的差不小于6，用不等式表示为__________________；9．不等式组的整数解是______________；10．假设关于的方程组的解满足>，则P的取值围是_________；二．选择题：〔每题3分，共30分〕11．假设>,则以下不等式中正确的选项是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12．在数轴上表示不等式≥的解集，正确的选