高考一轮复习必备-圆锥曲线讲义

.z.直线与圆锥曲线Ⅰ复习提问直线与圆锥曲线一、直线与圆锥曲线C的位置关系的判断判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线的方程〔A，B不同时为0〕代入圆锥曲线C的方程F〔*，y〕=0，消去y〔也可以消去*〕得到关于一个变量的一元二次方程，即联立消去y后得〔1〕当时，即得到一个一元一次方程，则与C相交，有且只有一个交点，此时，假设C为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；假设C为抛物线，则直线抛物线的对称轴平行。〔2〕当时，，直线与曲线C有两个不同的交点；，直线与曲线C相切，即有唯一公共点〔切点〕；，直线与曲线C相离。二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB的弦长三、中点弦所在直线的斜率〔1〕假设椭圆方程为时，以为中点的弦所在直线斜率，即；假设椭圆方程为时，相应结论为，即；〔2〕是双曲线部一点，以P为中点的弦所在直线斜率，即；假设双曲线方程为时，相应结论为，即；〔3〕〕是抛物线部一点，以P为中点的弦所在直线斜率；假设方程为时，相应结论为。Ⅱ题型与方法一、直线与圆锥曲线的位置关系〔1〕直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。〔2〕直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。例1.两点，，给出以下曲线方程：①②③④在曲线上存在点P，满足的所有曲线方程是〔填序号〕。练1:对于抛物线C：，我们称满足的点M〔〕在抛物线的部，假设点M〔〕在抛物线的部，则直线：与抛物线C的位置关系是。练2：设抛物线的准线与*轴交于点Q，假设过点Q的直线与抛物线有共点点，则直线的斜率的取值围是例2.如下图，在平面直角坐标系*oy中，过y轴正方向上一点C〔0，c〕〔c>0〕任作一条直线，与抛物线相交于A，B两点，一条垂直于*轴的直线分别与线段AB和直线：y=-c交于P，Q两点。〔1〕假设，求c的值；〔2〕假设p为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线。练1：〔12理〕如下图，，分别是椭圆C：的左右焦点，过作直线*轴的垂线交椭圆C的上半局部于点P，过作直线的垂线交直线于点Q，求证：直线PQ与椭圆C只有一个公共点。练2：〔14理〕在平面直角坐标系*oy中，点M到点F〔1,0〕的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C，〔1〕求点M的轨迹方程；〔2〕设斜率为k的直线l过定点P〔-2，1〕分别求直线l与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值围。二、中点弦问题例1：过点M〔，〕的直线l与椭圆交于A，B两点，且〔O为坐标原点〕，求直线l的方程。练1：〔14理〕过点M〔1,1〕作斜率为的直线与椭圆C：相交于A，B两点，假设M是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于。练2：椭圆方程。〔1〕求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；〔2〕过点P〔2,1〕的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。例2：如下图，在平面直角坐标系*oy中，椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作*轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对任意k>0,都有PA⊥PB。练1：曲线C：，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k>0,都有PQ⊥PH？假设存在，求m的值，不存在，说明理由。例3椭圆C：，试确定m的围，使得对于直线l：y=4*+m，椭圆C上有两个不同的点关于这条直线对称。练1：如下图，椭圆E经过点A〔2,3〕，对称轴为坐标轴，焦点，在*轴上，离心率，〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕求的角平分线所在直线l的方程；〔3〕在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？假设存在，请找出，不存在，说明理由。练2：A，B，C是椭圆W：上的三点，O是坐标原点。〔1〕当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形面积；〔2〕当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，说明理由。3.椭圆C：的离心率为，右焦点为F，右顶点A在圆F：上。〔1〕求椭圆C和圆F的方程。〔2〕过点A的直线l与椭圆C交于另一点B，与圆F交于另一点P，请判断是否存在斜率不为0的直线l，使点P恰好为线段AB的中点，假设存在，求出直线l的方程，假设不存在，说明理由。二、弦长与面积问题。在弦长有关的问题中，一般有三类问题：〔1〕弦长公式〔2〕与焦点相关的弦长计算，利用定义〔3〕涉及面积的计算问题例1.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于点A，B两点，假设线段AB的长为8，则P为多少？练1：椭圆C：，过椭圆C的左焦点F且倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B，求弦长。练2：圆M：，假设椭圆C：的右顶点为圆M的圆心，离心率为。〔1〕求椭圆C的方程；(2)直线：，假设直线与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点〔其中点G在线段AB上〕，且，求k的值。例2：椭圆C：，过点〔m，0〕作圆的切线交椭圆G于A，B两点。〔1〕求椭圆G的焦点坐标和离心率。〔2〕将表示为m的函数，并求的最大值。练1椭圆C：经过点，其离心率为〔1〕求椭圆C的方程。〔2〕设直线：y=k*+m与椭圆C相交于A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平形四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值围。2.椭圆C：的右顶点A〔2,0〕离心率为，O为坐标原点。〔1〕〔1〕求椭圆C的方程。〔2〕P是〔异于点A〕为椭圆C上一个动点，过O作线段AP垂线交椭圆C于点E，D。如下图，求的取值围。例3：是椭圆的左右焦点，AB是过点的一条动弦，求△AB的面积最大值。练1：〔14新课标理〕点A〔0，-2〕，椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。〔1〕求E的方程；〔2〕设过点A的直线与E相交于Ｐ，Ｑ两点，当△ＯＰＱ面积最大时，求的方程。例４：抛物线的焦点为Ｆ，过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点。〔１〕假设，求直线ＡＢ的斜率；〔２〕设点Ｍ在线段ＡＢ上运动，原点Ｏ关于点Ｍ的对称点Ｃ，求四边形ＯＡＣＢ面积的最小值。练１：〔１２〕在平面直角坐标系ｘｏｙ中，椭圆Ｇ的中点为坐标原点，左焦点为〔－１,０〕，Ｐ为椭圆Ｇ上顶点，且。〔１〕求椭圆Ｇ的标准方程〔２〕直线：与椭圆Ｇ交于Ａ，Ｂ两点，直线：〔〕与椭圆Ｇ交于Ｃ，Ｄ两点，且，如下图，〔１〕求证：〔２〕求四边形ＡＢＣＤ的面积Ｓ的最大值。2.(14年理21)如下图，O为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为；双曲线：的左右焦点分别为，离心率为，，且。〔1〕求，的方程〔2〕过作的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值。3.抛物线的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且。过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。〔1〕求证：为定值；〔2〕设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。三、平面向量在解析几何的应用常见的两个应用〔1〕用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是:先写出向量坐标式，再用向量数量积的坐标公式，当不共线时，有为：直角；钝角；锐角〔2〕利用向量的坐标表示解决共线问题.向量共线的充要条件是或1.夹角问题直线与抛物线相交于A，B两点，则：〔1〕直线在y轴上的截距等于2P时，〔2〕直线在y轴上的截距大于2P时，〔1〕直线在y轴上的截距大于0且小于2P时，。例1：过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，求证：△ABO为钝角三角形。练1：设A，B分别为椭圆的左右顶点，P为直线上不同于点〔4,0〕的任意一点，假设直线AP，BP分别与椭圆相交于A，B的点M，N.求证：点B在以MN为直径的圆。练2：m>1,直线：，椭圆C：的左右焦点分别为。〔1〕当直线过右焦点时，求直线的方程；〔2〕设直线与椭圆C交于A，B两点，△A和△B的重心分别为G，H，假设原点O在以线段GH为直径的圆，数m的取值围。2.向量共线问题。例1：在平面直角坐标系*oy中，经过点〔0，〕且斜率为k的直线与椭圆有两个焦点P，Q。〔1〕求k的取值围；〔2〕设椭圆与*轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B是否存在常数k，使得向量与共线？如存在，求k值，不存在说明理由。练1：设椭圆的左右焦点分别为，离心率，直线：，如下图，M，N是上的两个动点，，〔1〕假设，求的值；〔2〕求证：当取最小值时，与共线。例2：设A，B是椭圆上的两点，并且点N〔-2,0〕满足，当时，求直线AB斜率的取值围。练1：分别为椭圆的左右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为D，线段的垂直平分线交于点M。〔1〕求动点M的轨迹C的方程。〔2〕过点作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设。假设，求的取值围。2.过点F〔1,0〕的直线交抛物线于A，B两点，交直线：*=-1于点M，，，求的值。四、定点问题1.求定点问题的方法与步骤一般地，解决动曲线〔包括动直线〕过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选，二求，三定点。2.两点说明〔1〕对于曲线过定点，要求曲线方程关于参变量进展整理，即为参数，假设方程有两个参数，需在题中寻找它们之间的关系，消去其中一个。假设有解，则曲线过定点，否则不过定点。(2)对于直线过定点，我们有以下重要结论：①假设直线：，为常数，则直线必过定点〔0，m〕②假设直线：，n为常数，则直线必过定点〔-n，0〕③假设直线：，n，b为常数，则直线必过定点〔-n，b〕④假设直线：，为常数，则直线必过定点〔m，0〕⑤假设直线：，n为常数，则直线必过定点〔0，-n〕⑥假设直线：，n，b为常数，则直线必过定点〔b，-n〕。题型〔一〕三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点。例1：椭圆，直线：与椭圆交于A，B两点〔A，B不是顶点〕，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。练1：椭圆的左顶点为A，不过点A的直线：与椭圆交于不同的两点P，Q。当时，求k与b的关系，并证明直线过定点。2.〔12高三期末理〕焦点在*轴上的椭圆C过点〔0,1〕，且离心率为，Q为椭圆C的左顶点。〔1〕求椭圆C的标准方程〔2〕过点〔〕的直线与椭圆C交于A，B两点。〔ⅰ〕假设直线垂直于*轴，求∠AQB的大小〔ⅱ〕假设直线与*轴不垂直，是否存在直线使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；不存在说明理由。3.椭圆M：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为〔1〕求椭圆M的方程〔2〕设直线与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC的面积。例2:抛物线上异于顶点的两动点A，B满足以AB为直径的圆过顶点，求证：AB所在过定点，并求出定点的坐标。练1：如图，定点在抛物线上，过点P作两直线，分别交抛物线于A，B,且以AB为直径的圆过点P，求证：直线AB过定点，求出定点坐标。2.抛物线方程过点M〔1,2〕作两直线，分别交抛物线于A，B两点，且，的斜率，满足=2.求证：直线AB过定点，并求出此定点坐标。题型〔二〕三大圆锥曲线中，假设过焦点的弦AB，则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N，使得为定值。例1：〔12海淀模拟〕椭圆C：的右焦点为F〔1,0〕且点在椭圆C上。〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕动直线过点F，且与椭圆C交于A，B两点。在*轴上是否存在点Q，使得恒成立？假设存在，求出点Ｑ的坐标，假设不存在，说明理由。练１：双曲线的左右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于Ａ，Ｂ两点。在Ｘ轴上是否存在点Ｃ，使得为常数？假设存在，求出点Ｃ的坐标，假设不存在，说明理由。五．定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数思想方法来解决。证明过程可总结为“变量－函数－定值〞方法有〔１〕从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关。〔２〕直接推理，计算，消去变量，从而得到定值。题型〔一〕三大圆锥曲线中，曲线上的一定点Ｐ与曲线上的两动点Ａ，Ｂ满足直线ＰＡ与直线ＰＢ的斜率互为相反数，则直线ＡＢ的斜率为定值。例１.椭圆Ｃ：，Ａ为椭圆上的点，其坐标为〔１，〕，Ｅ，Ｆ是椭圆Ｃ上的两动点，如果直线ＡＥ的斜率与ＡＦ的斜率互为相反数。求证：直线ＥＦ的斜率为定值，并求出该定值练１：Ａ，Ｂ，Ｃ是长轴为４，焦点在ｘ轴上的椭圆上的三点，点Ａ是长轴的一个端点，ＢＣ过椭圆的中心Ｏ，且，。〔１〕求椭圆方程；〔２〕如果椭圆上的两点Ｐ，Ｑ，使得∠ＰＣＱ的平分线垂直于ＯＡ，问是否总存在实数，使得？说明理由。２.椭圆Ｇ：的离心率为，过椭圆Ｇ右焦点Ｆ的直线ｍ：ｘ＝１与椭圆Ｇ交于点Ｍ〔Ｍ在第一象限〕。〔１〕求椭圆Ｇ的方程；〔２〕Ａ为椭圆Ｇ的左顶点，平行于ＡＭ的直线与椭圆相交于Ｂ，Ｃ两点，判断直线ＭＢ，ＭＣ是否关于直线ｍ对称，并说明理由。题型〔二〕三大圆锥曲线中，设过焦点Ｆ且不垂直于坐标轴的弦ＡＢ，其垂直平分线交焦点所在轴于点Ｒ，则例１.椭圆Ｃ：的离心率为，过右焦点Ｆ且斜率为Ｋ〔Ｋ＞０〕的直线与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，假设，则Ｋ＝。练1：双曲线C：的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A，B两点，假设，则C的离心率为。2.F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为。题型〔三〕三大曲线中〔双曲线需同一支〕,设过焦点F且不平行于坐标轴的弦为AB，则为定值〔L为通经长〕例1：〔1〕过抛物弦的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，=2，=。〔2〕过抛物弦的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，满足，则弦AB的中点到准线的距离。练1：如下图，抛物线C1：和圆C2：，其中p>0，直线经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为。题型四：椭圆，直线与椭圆交于A，B两点，在△AOB中，AB边上的高为OH。〔1〕假设〔2〕假设〔2〕假设例1：椭圆E：，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？假设存在，写出该圆的方程；假设不存在，说明理由。练1.在直角坐标系*oy中，点P到两点〔0，-〕，〔0，〕的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A，B两点.〔1〕写出C的方程；〔2〕假设，求k的值。2.如下图，椭圆的顶点为，焦点为，〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕设n为过原点的直线，是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线使成立？存在，求出的方程