圆锥曲线常见题型解法

-.z.圆锥曲线常见题型解法SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。【变式演练1】双曲线的中心在坐标原点O,焦点在*轴上，过双曲线右焦点且斜率为SKIPIF1<0的直线交于双曲线P，Q两点，假设SKIPIF1<0，求双曲线方程。题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答例2椭圆SKIPIF1<0，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．假设AB⊥BF，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)－1,4)解：因为AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，即eq\f(b,a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))＝－1，即b2＝ac，所以a2－c2＝ac，两边同除以a2，得e2＋e－1＝0，所以e＝eq\f(－1±\r(5),2)(舍负)，应选B.【小结】求值一般利用方程的思想解答，所以此题的关键就是找到关于SKIPIF1<0的方程。【练习】椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有公共的焦点，SKIPIF1<0的一条渐近线与以SKIPIF1<0的长轴为直径的圆相交于A，B两点．假设SKIPIF1<0恰好将线段AB三等分，则()A．SKIPIF1<0＝eq\f(13,2)B．SKIPIF1<0＝13C．SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)D．SKIPIF1<0＝2题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答例3SKIPIF1<0+4(y-1)2=4，求：(1)SKIPIF1<0+y2的最大值与最小值;(2)*+y的最大值与最小值．〔2〕分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=*+y，则将此代入SKIPIF1<0+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．令*+y=u，则有*=u-y,代入SKIPIF1<0+4(y-1)2=4得：5SKIPIF1<0-(2u+8)y+SKIPIF1<0=0．又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×SKIPIF1<0≥0．∴SKIPIF1<0〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为SKIPIF1<0，求△AOB面积的最大值。题型四圆锥曲线的围问题解题方法一般利用函数、根本不等式、数形结合等解答。例4椭圆SKIPIF1<0的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向*轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是共线向量。〔1〕求椭圆的离心率e；〔2〕设Q是椭圆上任意一点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是左、右焦点，求∠SKIPIF1<0的取值围；【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.【变式演练4】设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点。〔Ⅰ〕假设SKIPIF1<0是该椭圆上的一个动点，求SKIPIF1<0·SKIPIF1<0的最大值和最小值；〔Ⅱ〕设过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于不同的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且∠SKIPIF1<0为锐角〔其中SKIPIF1<0为坐标原点〕，求直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值围。题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、弦长公式、点差法等解答。例5双曲线SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0能否作一条直线SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0与双曲线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点。假设存在这样的直线SKIPIF1<0，求出它的方程，假设不存在，说明理由。故直线SKIPIF1<0由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这说明直线SKIPIF1<0与双曲线不相交，故被点SKIPIF1<0平分的弦不存在，即不存在这样的直线SKIPIF1<0。在一点E(SKIPIF1<0,0)，使得SKIPIF1<0是等边三角形，假设存在，求出SKIPIF1<0；假设不存在，请说明理由。题型六圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式和数形结合解答。例6曲线SKIPIF1<0及SKIPIF1<0有公共点,数a的取值围．可得：SKIPIF1<0=2(1-a)y+SKIPIF1<0-4=0．∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴SKIPIF1<0.如图2－47，可知：椭圆中心SKIPIF1<0,半轴长SKIPIF1<0,抛物线顶点为SKIPIF1<0,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,SKIPIF1<0.综上所述,当SKIPIF1<0时,曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交.【变式演练6】设椭圆，抛物线。假设经过的两个焦点，求的离心率；设A〔0，b〕，,又M、N为与不在y轴上的两个交点，假设△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。题型七圆锥曲线的定点和定值问题解题方法过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了。在直角坐标系SKIPIF1<0中，点M到点SKIPIF1<0的距离之和是4，点M的轨迹是C与*轴的负半轴交于点A，不过点A的直线SKIPIF1<0与轨迹C交于不同的两点P和Q.〔I〕求轨迹C的方程；〔II〕当SKIPIF1<0时，求k与b的关系，并证明直线SKIPIF1<0过定点.解：〔1〕SKIPIF1<0的距离之和是4，SKIPIF1<0的轨迹C是长轴为4，焦点在*轴上焦中为SKIPIF1<0的椭圆，其方程为SKIPIF1<0…………3分〔2〕将SKIPIF1<0，代入曲线C的方程，整理得SKIPIF1<0…………5分因为直线SKIPIF1<0与曲线C交于不同的两点P和Q，所以SKIPIF1<0①设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②…………7分即SKIPIF1<0经检验，都符合条件①当b=2k时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0显然，此时直线SKIPIF1<0经过定点〔-2，0〕点.即直线SKIPIF1<0经过点A，与题意不符.当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0显然，此时直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0点，且不过点A.综上，k与b的关系是：SKIPIF1<0且直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0点 【方法点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点。【变式演练7】在抛物线*2＝4y上有两点A(*1，y1)和B(*2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)SKIPIF1<0为定值.SKIPIF1<0又SKIPIF1<0点在抛物线上，则SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0为所求轨迹方程．【方法点评】点P之所以在动，就是因为点B在动，所以点P是被动点，点B是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程。【变式演练8】△ABC的顶点SKIPIF1<0，顶点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上运动，求SKIPIF1<0的重心SKIPIF1<0的轨迹方程．题型九存在性问题解题方法一般先假设存在，再探求，最后检验。例9中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆C的离心率为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0，过点P〔2，1〕的直线SKIPIF1<0与椭圆C在第一象限相切于点M.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕求直线SKIPIF1<0的方程以及点M的坐标；〔3〕〕是否存过点P的直线SKIPIF1<0与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足SKIPIF1<0？假设存在，求出直线l1的方程；假设不存在，请说明理由.解：〔Ⅰ〕设椭圆C的方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0 解得SKIPIF1<0，故椭圆C的方程为SKIPIF1<0.……4分〔Ⅱ〕因为过点P〔2，1〕的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为SKIPIF1<0 由SKIPIF1<0 得SKIPIF1<0.① 因为直线SKIPIF1<0与椭圆相切，所以SKIPIF1<0 整理，得SKIPIF1<0 解得SKIPIF1<0[所以直线l方程为SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为SKIPIF1<0…………9分〔Ⅲ〕假设存在直线l1满足条件，的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆C的方程得SKIPIF1<0因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0 所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因为A，B为不同的两点，所以SKIPIF1<0. 于是存在直线SKIPIF1<01满足条件，其方程为SKIPIF1<01.【2012高考真题理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：SKIPIF1<0〔a,b＞0〕的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与*轴交与点M，假设|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A.SKIPIF1<0B。SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以PQ的垂直平分线方程为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。应选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线SKIPIF1<0的中心在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的准线交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0的实轴长为〔〕SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0为直线上一点，SKIPIF1<0是底角为的等腰三角形，则SKIPIF1<0的离心率为〔〕SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是底角为的等腰三角形，则有SKIPIF1<0,，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率为SKIPIF1<0，选C.4.【2012高考真题理8】双曲线SKIPIF1<0的右焦点与抛物线y2=12*的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.3D.5【解析】由抛物线方程SKIPIF1<0易知其焦点坐标为SKIPIF1<0，又根据双曲线的几何性质可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而可得渐进线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，应选Ａ．5.【2012高考真题全国卷理8】F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)SKIPIF1<0〔B〕SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【解析】双曲线的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=SKIPIF1<0,所以解得|PF2|=SKIPIF1<0，|PF1|=SKIPIF1<0，所以根据余弦定理得SKIPIF1<0,选C.6.【2012高考真题理14】过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线交抛物线于SKIPIF1<0两点，假设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0=.7.【2012高考真题理20】(本小题总分值12分)如图，椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，a，b为常数)，动圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的左，右顶点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交点M的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0四点，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。假设矩形SKIPIF1<0与矩形SKIPIF1<0的面积相等，证明：SKIPIF1<0为定值。〔2〕证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值8.【2012高考真题理22】〔4+6+6=16分〕在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．〔1〕过SKIPIF1<0的左顶点引SKIPIF1<0的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及SKIPIF1<0轴围成的三角形的面积；〔2〕设斜率为1的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，假设SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，求证：SKIPIF1<0；〔3〕设椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，假设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离是定值.由，得.设P(*1,y1)、Q(*2,y2)，则.〔lbylf*〕又2，所以，设O到直线MN的距离为d，因为，所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值.……16分9、〔2012高考真题理21〕〔本小题总分值13分〕在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为．〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕是否存在点，使得直线与抛物线相切于点假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由；〔Ⅲ〕假设点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值．又取中点，，由垂径定理知，所以，，，所以存在，.〔Ⅲ〕依题，，圆心，，圆的半径，圆心到直线的距离为，所以，.又联立，设，，，，则有，.所以，.于是，记，，所以在，上单增，所以当，取得最小值，所以当时，取得最小值.【反应训练】1、求以下抛物线的方程〔1〕顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点〔3，a〕到焦点的距离是5；〔2〕顶点在原点，焦点在*轴上的抛物线截直线SKIPIF1<0所得的弦长为SKIPIF1<0。3、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点，求面积的最大值。4、椭圆SKIPIF1<0的焦点为FSKIPIF1<0FSKIPIF1<0，点P为其上的动点，当∠FSKIPIF1<0PFSKIPIF1<0为钝角时，点P横坐标的取值围是___。5、椭圆SKIPIF1<0，试确定的SKIPIF1<0取值围，使得对于直线SKIPIF1<0，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。6、如图，椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、〔Ⅰ〕求椭圆和双曲线的标准方程；〔Ⅱ〕设直线、的斜率分别为、，证明；〔Ⅲ〕是否存在常数，使得恒成立？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由.7、常数m>0，向量a=(0,1)，向量b=(m,0)，经过点A(m,0)，以SKIPIF1<0SKIPIF1<0为方向向量的直线与经过点B(-m,0)，以SKIPIF1<0b-SKIPIF1<0为方向向量的直线交于点P，其中SKIPIF1<0∈R．(1)求点P的轨迹E；(2)假设SKIPIF1<0，F(4,0)，问是否存在实数k使得以Q(k,0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF|+|NF|=SKIPIF1<0．假设存在求出k的值；假设不存在，试说明理由．8、椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，eq\r(2))，且长轴长与短轴长的比是eq\r(2)1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．9双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】设所求的双曲线方程为SKIPIF1<0,右焦点为F(c,0)由题设过F点的直线l方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理消去y化为：SKIPIF1<0……(※)现分析SKIPIF1<0的取值假设SKIPIF1<0=0，则有SKIPIF1<0这显然与直线l的斜率相等而直线l平行于双曲线的渐近线，则直线l与双曲线只能交于一点与题设矛盾，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此假设〔※〕方程两个根为SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0则：SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0【变式演练3详细解析】解：〔Ⅰ〕设椭圆的半焦距为SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求椭圆方程为SKIPIF1<0。〔Ⅱ〕设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。〔1〕当SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0。〔2〕当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。把SKIPIF1<0代入椭圆方程，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，综上所述SKIPIF1<0。SKIPIF1<0当SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0面积取最大值SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0〔以下同解法一〕〔Ⅱ〕显然直线SKIPIF1<0不满足题设条件，可设直线SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故由①、②得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0=2\*GB3②

由韦达定理，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。则线段AB的中点为SKIPIF1<0。

线段的垂直平分线方程为：SKIPIF1<0

令y=0,得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到直线AB的距离d为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0满足=2\*GB3②式此时SKIPIF1<0。【变式演练6详细解析】故，得重心坐标.由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。【变式演练7详细解析】(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．∴A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．【变式演练8详细解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由重心公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0．③将①，②代入③，得SKIPIF1<0，即所求曲线方程是SKIPIF1<0．【变式演练9详细解析】〔Ⅰ〕将直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0……①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故SKIPIF1<0〔Ⅱ〕设A、B两点的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则由①式得SKIPIF1<0……②SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.2、【解析】由椭圆方程，得，设是关于l对称点，可求出坐标为(-9,6)，过的直线方程:*+2y-3=0与*-y+9=0联立，得交点M(-5,4)，即过M的椭圆长轴最短。由,得，,,所求椭圆方程为.3、【解析】解：椭圆焦点，设过焦点(0,1)，直线方程为y=k*+1与联立，消去y,得，其中两根为A,B横坐标。将三角形AOB看作与组合而成，|OF|是公共边，它们在公共边上的高长为即当直线为y=1时,得到的面积最大值为。4、【解析】由椭圆SKIPIF1<0的知焦点为F1〔－SKIPIF1<0,0〕F2〔SKIPIF1<0,0〕.设椭圆上的点可设为P〔3cosSKIPIF1<0,2sinSKIPIF1<0〕.SKIPIF1<0为钝角∴SKIPIF1<0=9cos2SKIPIF1<0－5＋4sin2SKIPIF1<0=5cos2SKIPIF1<0－1<0解得：SKIPIF1<0∴点P横坐标的取值围是〔SKIPIF1<0〕.5、【解析】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上关于直线SKIPIF1<0的对称两点，SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这就是弦SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0轨迹方程。它与直线SKIPIF1<0的交点必须在椭圆联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0则必须满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1