2023-2024学年湖南省常德市淮阳中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2023-2024学年湖南省常德市淮阳中学高二数学第一学期期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.2．已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A或1 B.或C. D.13．过点，且斜率为2的直线方程是A. B.C. D.4．设函数的导函数是，若，则（）A. B.C. D.5．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A. B.C. D.6．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.7．已知数列满足，，则的最小值为（）A. B.C. D.8．下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为9．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}10．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.611．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点在直线上，则的最小值为___________.14．抛物线上的点到其焦点的最短距离为_________.15．已知等差数列的前n项和为，，则___________.16．已知曲线在处的切线方程为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.（1）求切线的倾斜角的取值范围；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.18．（12分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值19．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.20．（12分）已知函数.（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值.21．（12分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点（1）求证:平面平面；（2）求证:平面；（3）求三棱锥体积22．（10分）已知数列的前n项积，数列为等差数列，且，（1）求与的通项公式；（2）若，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.【详解】如图，取的中点，连接，三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，所以，又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，而平面，平面，且，所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.故选：C2、A【解析】分截距都为零和都不为零讨论即可.【详解】当截距都为零时，直线过原点，；当截距不为零时，，.综上：或.故选：A.3、A【解析】由直线点斜式计算出直线方程.【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.4、A【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.5、A【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A6、C【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，∴以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则，，，设平面ABD的单位法向量，，由解得取，则∴点C到平面ABD的距离.故选：C7、C【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.【详解】因为，所以，，，，式相加可得，所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.故选：C8、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D9、D【解析】根据集合交集的运算法则计算即可.【详解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，则A∩B＝{－2，－1，0}.故选：D.10、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D11、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.12、B【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆，圆，所以，，所以，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】由已知可用表示，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求【详解】解：由题意得，即，所以，根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值4，故的最小值2故答案为：214、1【解析】设出抛物线上点的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助函数性质计算作答.【详解】抛物线的焦点，设点为抛物线上任意一点，于是有，当且仅当时取“=”，所以当，即点P为抛物线顶点时，取最小值1.故答案为：115、36【解析】根据等比数列下标和性质得到，再根据等差数列前项和公式计算可得；【详解】解：因，所以，所以；故答案为：16、1【解析】先求导，由，代入即得解【详解】由题意，故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意求出值，求导后通过导数的值域求出斜率范围，从而得到倾角范围.（2）利用导数几何意义得到过P点的切线方程，化简后构造m的函数，求新函数的极大值极小值即可.【小问1详解】因为，则，解得，所以，则，故，，，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.小问2详解】设曲线与过点，的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为因为点，在切线上，所以，即，由题意，该方程有三解设，则，令，解得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，极大值为，所以实数的取值范围是.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后分别求出平面与平面的一个法向量，最后求出平面与平面夹角的余弦值【小问1详解】四边形是正方形，可得：又平面，平面则有：平面四边形是梯形，可得：又平面，平面则有：平面又故平面平面【小问2详解】依题意知两两垂直，故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，，，可得：，，设平面的一个法向量，则有：取，可得：设平面的一个法向量，则有：取，可得：设平面与平面的夹角为，则故平面与平面夹角的余弦值为19、(1)(2)=2【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=220、（1）；（2）.【解析】（1）先对函数求导，再根据在处的切线斜率可得到参数的值，然后代入，求出的值，则即可得出；（2）根据函数在上是增函数，可得，即恒成立，再进行参变分离，构造函数，对进行求导分析，找出最小值，即实数的最大值【详解】解：（1）由题意，函数.故，则，由题意，知，即.又，则.，即..（2）由题意，可知，即恒成立，恒成立.设，则.令，解得.令，解得.令，解得x.在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值..，故的最大值为.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.（2）取AB中点G，连结EG，FG，因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四边形为平行四边形，所以EG，又因为EG平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱锥的体积为：==.考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；