2023-2024学年福州三校联盟数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

2023-2024学年福州三校联盟数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的虚部为（）A. B.C. D.2．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为3．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.4．设，则有（）A. B.C. D.5．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（）A.8 B.10C.16 D.326．已知函数f(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是（）A. B.C. D.7．已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则最大值为A.3 B.4C.7 D.98．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，9．不等式的解集为（）A. B.C. D.10．已知数列满足，且，，则（）A. B.C. D.11．设a，b，c非零实数，且，则（）A. B.C. D.12．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝__.14．已知，则曲线在点处的切线方程是______.15．已知函数，则_________16．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2020年8月，总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：前10天剩菜剩饭的重量为：后天剩菜剩饭的重量为：借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）18．（12分）已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围19．（12分）已知函数（1）若函数的图象在点处的切线与平行，求b的值；（2）在（1）的条件下证明：20．（12分）（1）叙述正弦定理；（2）在△中，应用正弦定理判断“”是“”成立的什么条件，并加以证明.21．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.（1）证明：；（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.22．（10分）如图，正三棱柱中，D是的中点，.（1）求点C到平面的距离；（2）试判断与平面的位置关系，并证明你的结论.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据复数的运算化简，由复数概念即可求解.【详解】因为，所以的虚部为，故选：A2、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离3、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.4、A【解析】利用作差法计算与比较大小即可求解.【详解】因为，，所以，所以，故选：A.5、C【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根，所以，又因为数列是等比数列，所以，故选：C6、D【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故可知，导函数图象为D故选：D7、A【解析】整理数列的通项公式有：，结合可得数列是首项为，公比为的等比数列，则，，原问题即：恒成立，当时，，即>3，综上可得：的最大值为3.本题选择A选项点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项8、D【解析】根据含有量词的命题的否定即可得出结论.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：，.故选：D.9、A【解析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】，故选：A.10、A【解析】由已知两个不等式，利用“两边夹”思想求得，然后利用累加法可求得【详解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故选：A【点睛】本题考查数列的递推式，由递推式的特征，采用累加法求得数列的项．解题关键是利用“两边夹”思想求解11、C【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；对于C：利用作差法证明.【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；故选：C.12、A【解析】由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，即可求解得答案【详解】解：S＝S+＝S+，第一次循环，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循环，S=1+1﹣，k＝3；第三次循环，S＝1+1，k＝4；第四次循环，S＝1，k＝5；第五次循环，S＝1+1，k＝6，循环停止，输出；故答案为：.14、【解析】求导，得到，写出切线方程.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程是，即，故答案为：15、【解析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.16、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.【详解】解：由题得圆的圆心为，双曲线的渐近线方程为，即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.【解析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值进行判断；也可画出茎叶图观察判断.【详解】解：（1）报名的学生共有126人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）记高二四个学生为1，2，3，4，高三两个学生为5，6，抽出两人表示为（x，y），则抽出两人的基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个基本事件，其中高二学生都在同一组包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个基本事件.记抽出两人都是高二学生为事件，则，所以高二学生都在同一组的概率是.（3）法一：（数字特征）前10天的平均值为23.5，后10天的平均值为20.5，因为20.5<23.5，所以宣传节约粮食活动的效果很好.法二：（茎叶图）画出茎叶图因为前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好.18、或【解析】先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.【详解】若是真命题．则对任意恒成立，∴；若为真命题，则方程有实根，∴，解得或，由题意，真也真，∴或即实数的取值范围是或.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意可得，从而可求出，（2）先构造函数，利用导数可求得对任意恒成立，对任意恒成立，从而将问题转化为只需证对任意恒成立，再次构造函数，利用导数求出其最大值小于等于即可【详解】（1）解：∵函数的图象在点处的切线与平行，∴，解得；证明：（2）由（1）得即对任意恒成立，令，则，∵当时，，∴函数在上单调递增，∵，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，∴只需证对任意恒成立即可，即只需证对任意恒成立，令，则，由单调递减，且知，函数在上单调递增，在上单调递减，∴，∴得证，故不等式对任意恒成立20、（1）正弦定理见解析；（2）充要条件，证明见解析【解析】（1）用语言描述正弦定理，并用公式表达正弦定理（2）利用“大角对大边”的性质，并根据正弦定理进行边角互化即可【详解】（1）正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等且等于这个三角形外接圆的直径，即.（2）是充要条件.证明如下：充分性：又故有：必要性：又综上，是的充要条件21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设，则，所以，所以，所以【小问2详解】因为，所以，所以，设平面一个法向量为，则，令，则，设直线BF与平面DEF所成角为，则，所以直