一次不等式(不等式组)的竞赛教师版

一次不等式(不等式组)的竞赛教师版不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例2解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例3已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例4解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例5已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．由②可求得将③代入①得所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为因为b＜0，所以下面举例说明不等式组的解法．不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．例6解关于x的不等式组解解①得4mx＜11，③解②得3mx＞8．④(1)当m=0时，③，④变为原不等式组无解．(2)当m＞0时，③，④变形为(3)当m＜0时，由③，④得

例7〖2006年威海中考〗小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘计1分，小亮胜一盘计3分．当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明．他们各胜过几盘？（已知比赛中没有出现平局）【分析】此题是一道反映不等关系的应用题，抓住“当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明”这样的关键语句表示不等关系；另外应当明确在比赛中，小明赢的盘数恰好等于小亮输的盘数．【详解】设下完10盘棋后，小亮胜了盘，根据题意得，，解得，则不等式组的正整数解为，所以小亮胜3盘，小明胜7盘．例8〖2006年衡阳中考〗市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?【分析】：由题意可知，第一题存在等量关系，考虑用方程来解决；后两个问题存在不等关系，可用不等式来解决．【详解】（1）设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得50＋80(500—)＝28000解之得：＝400∴500－＝500－400＝100即：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株．（2）由题意得：50＋80(500－)34000．解之得200即：购买甲种树苗不小于200株．（3）由题意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500∴300设购买两种树苗的费用之和为y元，则＝50＋80(500－)＝40000－30所以＝40000－30，其中的值随的增大而减小，所以＝300时有最小值，＝40000－30300＝31000．【考点】本题考察了方程与不等式知识在实际问题中的应用．例9〖希望杯培训〗下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素的含量及成本：甲乙丙维生素（单位/千克）400600400维生素（单位/千克）800200400成本（元/千克）654某食物营养研究所将三种食物混合成110千克的混合物，使之至少需含48400单位的维生素及52800单位的维生素．求三种食物所需量与成本的关系式．【详解】设需甲、乙两种食物分别为千克，则丙需千克，设共需成本元，应有【考点】本题考察了列不等式组的能力，解题关键应抓住体现不等关系的关键词语.如“至少”等．练习一元一次不等式(组)是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。巧用不等式的性质例1要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（）A.0＜a＜1B.a＞1C.－1＜a＜0D.a＜－1分析：由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。故选D点评：本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定a的取值范围。例2已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是。分析：在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30点评：本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围例3若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是。分析：由①得，解之得。由②得。因为原不等式组的解集为，所以，所以。点评：本题直接解两个不等式得到且。若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。若不等式的解集是，则不等式。分析：原不等式可化为。因为，所以由②得，代入①得＜0，所以。由得。把代入得。点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。利用不等式求代数式的最大值设均为自然数，且，又，则的最大值是。分析：均为自然数，且，所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，159=，，所以的最大值为19。当取最大值时，，140≥，，所以的最大值为20。当、都取最大值时，120=，所以，所以的最大值为22。所以的最大值是19+20+22=61。点评：本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。例6在满足，的条件下，能达到的最大值是。分析：将转化为只含有一个字母的代数