群折射率的物理意义和变换关系

群折射率的物理意义和变换关系

从历史的角度来看，折射的重要性经历了从经验的原始定义到与磁体理论中的物质参量的联系，从单说明光的相速度到中波的各向异性、吸收、离散等性质的逐步加深过程。其中，色散是一个众所周知的与群速和折射密切相关的概念。然而，在这项工作中，色散干预法的测量和短期光在传播特性上的传播特性上没有得到充分注意。为了强调色散的影响，消除测量和使用中的不同折射数据之间的误解，本文通过分析和讨论了具有共同折射的单一折射概念。他指出，在干预干预过程中，用光干涉测量法获得的直接数据是群折射，并确定了群折射和折射之间的转换关系。从各种典型材料的例子中，我们可以清楚地了解混合两者的结果。1群折射与折射色散的存在产生了群速的概念,记作vg.经过简单的数据推导1,可以得到群速度表达式vg=(c/n)(1+(λ/n)dn/dλ)(1)式中n为介质的折射率,它是波长λ的函数.可以认为,群速代表能量传播速度或信号速度.仿照折射率为光在二种介质中的速度之比的定义,可以引入群折射率ng的概念2,即ng=c/vg(2)由式(1)有ng≈n-λdn/dλ(3)对于正常色散,一般有ng>n.我们知道,当波为严格单频时,群速不存在.单色光以相速在介质中传播,而非单色光的信号或能量必以群速传播.考虑到实际的光源总是非单色光,在某个波长处,除了折射率,还需加上这个波长处的色散率作为介质本身的属性才能完全描写介质在这个波长处的光学性质,二者缺一不可.作者认为,群速和相速既与波(光源)有关又和介质有关,而折射率和色散是介质本身的性质,与光源无关.从式(3)我们注意到,群折射率物理意义不仅包含了折射率含义而且还体现了折射率色散性质,因此同样能作为材料本身的(与光源的单色性无关)参量,以表征材料的光学性质.亦即一定光谱范围内的折射率与群折射率通过式(3)建立变换关系,除了真空之外,其他色散介质中群折射率与折射率在任何波长处不可能相等,它们完全是二回事.有了群折射率概念后,对于非严格意义的单色光,比如光脉冲,从能量传播来看,光程的意义就应修正为光(波包)行进的路程与群折射率的乘积.而原来光程的概念只能局限在绝对严格的单色光上,或与相位改变相联系.为了以示区别,我们不妨将与能量或信号传输相关的光程称为群光程.因此,群折射率取代折射率在研究光在介质中的传播问题,特别是超短脉冲在介质中的时间响应特性(时间分辨光谱)上有重要意义.之所以这样说,是因为在计算介质中的脉冲光速(波包或光子行进速度)时,人们往往想当然地把真空中的光速除以介质的折射率,而现在我们知道了正确的做法是把真空中的光速除以介质的群折射率!从光速测量来看,除了根据惠更斯原理(折射率法)测出媒质中的光速是相速外,大多数其它已知方法测出的都是光的信号速度(群速).同样地,在测量折射率方面,已知用菲涅耳公式或其简单形式(折射定律)测出的是折射率(或者说是相折射率),而用其它方法测出的数据是否为折射率要看具体情况.比如,常举的例子CS2用折光法和光速法的折射率分别为1.64和1.758(其实后者正是群折射率!),使人迷惑了很长时间,其原因就是色散从中作崇,直到群速概念提出后才得以解决.还有,在迈克尔逊干涉仪上利用白光干涉的“零光程”法测量折射率中,“零光程”对应干涉条纹反衬度的最大值.这实际上是信号的检测,也就是群光程差的检测,因而是群速的检测,所以测量的结果也必然是群折射率,所得到的“色散曲线”实际上是群折射率的“色散”曲线.不幸的是,这个群折射率常被误为折射率,比如几乎所有国内出版的实验教科书3～5包括近年的一些文章6～9均无例外.另一方面,在用干涉法中如果检测的是条纹变化数(对应于光程差),那么得到的则是折射率,正如干涉测量法的气体折射率数据.近来由于激光飞秒技术的成熟,以及弱相干成象技术的发展,群折射率的概念越来越显得有意义.也就是说,群折射率与折射率的区别还应主要体现在应用上,即如何使用折射率数据方面上,这在有关时间分辨光谱以及光在物质中传播的时间特性研究中尤为重要.2dng/d中多个参量的变化从前面的讨论可知,四个参量n、ng、dn/dλ和dng/dλ中,只有二个是独立的.换言之,只要知道其中任意二个参量,就可以推出其他参量.但是为了说明方便,这里只考虑n(λ)和ng(λ)之间的变换.2.1从n到ng如果已知折射率及其色散关系n=n(λ),那么通过式(3),即可直接得到对应的群折射率和群折射率的“色散性质”ng=ng(λ).2.2求各参量d[122222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222如果测得群折射率的“色散”曲线,即ng=ng(λ)已知,原则上讲可以通过求解式(3)得到折射率及其色散关系.式(3)实际上是一阶非齐次线性微分方程,其通解可以写为n=λ[D−∫λ−2ng(λ)dλ](4)n=λ[D-∫λ-2ng(λ)dλ](4)其中D为实常数.式(3)和(4)是群折射率与折射率的变换与反变换关系,二者通过色散关系一一对应.考虑到实际的光谱范围都是一个有限区间,取为[λ1～λ2],则式(4)改写为n=λ[D−∫λ1λ2λ−2ng(λ)dλ](5)n=λ[D-∫λ1λ2λ-2ng(λ)dλ](5)参数D可由以下3种方法确定:1)当某个波长λ0处的折射率n(λ0)已知时,由式(5)可得D=λ−10n(λ0)+∫λ1λ0λ−2ng(λ)dλ(6)D=λ0-1n(λ0)+∫λ1λ0λ-2ng(λ)dλ(6)当λ0=λ1的特殊情况下,D=n(λ0)/λ0.2)若任何波长处的折射率都无法事先知道,仅有群折射率的“色散”曲线,即ng=ng(λ)时,情况就更复杂多了.一种是硬算的办法,即反复利用式(3)和(5)进行迭代求数值解.另一种则是分别假设群折射率与折射率的色散关系符合相似的经验公式,如A.L.Cauchy所给出的公式,除了求出参量D外,亦可清晰地给出各参量之间的关系,具体如下:若折射率满足n=A+B/λ2+C/λ4(7)式中A、B、C是与物质有关的常量;另假设群折射率亦满足ng=Ag+Bg/λ2+Cg/λ4(8)将式(7)和(8)代入式(5),有如下简单关系A=Ag;B=Bg/3;C=Cg/5D=Ag/λ1+Bg/3λ3113+Cg/5λ5115由此可见,在同样的波长处,群折射率总比折射率大.这与前述是一致的.总之,有了折射率色散关系就可以得到群折射率的色散关系,反之亦然.3群分辨率与分辨率以下给出几个实例,除了对式(3)和式(4)、(5)的变换关系有直观的了解,还可以知道把折射率与群折射率搞混在数量级上有多大差别.色散数学模型采用A.L.Cauchy正常色散的经验公式,即式(7),其中A、B、C的数值由三个波长的实验数据7,8确定.为了控制精度,光谱范围选在可见光中430～650nm波段;折射率数据在计算过程中取11位数字(小数点后有10位)以减少计算中所引入的截断误差.例1固体9Grouprefractiveindexofdensecrown:ng3Refractiveindexofdensecrown:n3Grouprefractiveindexoflightcrown:ng2Refractiveindexoflightcrown:n2Grouprefractiveindexofquartzglass:ng1Refractiveindexofquartzglass:n1例2液体10GrouprefractiveindexofC6H6:ng3RefractiveindexofC6H6:n3GrouprefractiveindexofC2H5OH:ng3RefractiveindexofC2H5OH:n3GrouprefractiveindexofH2O:ng3RefractiveindexofH2O:n3从图1和图2中可见,这些材料在可见光范围的群折射率都比折射率大,而且很显著,特别在短波处更甚.例3空气折射率10(101325Pa,20℃)容易求得折射率与相应的群折射率的色散关系分别为n(λ)=1.0002679952+1.460/λ2+1.947×104/λ4和ng(λ)=1.0002679952+4.38/λ2+9.74×104/λ4.在643.847,508.582和435.832nm波长处折射率数据与相应的群折射率数据的差别出现在小数点后第6位,分别为(ng-n)×106=2.606,4.132和5.682.以上例子说明在群折射率与折射率的数值上,CS2并不是唯一的差别大的材料,甚至空气的差别也是不可忽略的.4总启示:要求注意二十七日折本文之所以要区别群折射率与折射率,是因为不少实验(包括干涉法),测出的“折射率”实际上是群折射率,但却被当作折射率来看待.甚至普通物理实验教科书乃至有