正余弦定理知识点总结及高考考试题型

.z.三角函数五——正、余弦定理一、知识点〔一〕正弦定理：其中是三角形外接圆半径.变形公式：〔1〕化边为角：〔2〕化角为边：〔3〕〔4〕.3、三角形面积公式：4、正弦定理可解决两类问题：〔1〕两角和任意一边，求其它两边和一角；〔解唯一〕〔2〕两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.〔解可能不唯一〕〔二〕余弦定理：由此可得：.注：＞A是钝角；=A是直角；＜A是锐角；2、余弦定理可以解决的问题：〔1〕三边，求三个角；〔解唯一〕〔2〕两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；〔解唯一〕：〔3〕两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.〔解可能不唯一〕三、正、余弦定理的应用射影定理：有关三角形角的几个常用公式解三角形常见的四种类型两角与一边：由及正弦定理，可求出，再求。两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理，求出角。〔3〕三边，由余弦定理可求出。〔4〕两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的对角，由，求出，再由求出，而通过90°90°90°一解一解一解无解无解一解两解无解无解一解无解求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：二、例题讲解〔一〕求边的问题〔2009文〕中，的对边分别为假设且，则()A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】由可知,,所以,由正弦定理得,应选A〔2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10〕锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为，，，，，c=6，则〔〕A.10 B.9 C.8 D.5【解题指南】由，利用倍角公式求出的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】选D.因为，所以，解得，方法一:因为△ABC为锐角三角形，所以,.由正弦定理得，.，.又，所以，.由正弦定理得,，解得.方法二:由余弦定理，，则，解得〔2011〕在中，角所对的边分.假设，则()A．-B．C．-1D．1【答案】D【解析】∵，∴，∴.9、〔2011〕在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又，∴，即，，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得，又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)假设a=6,b+c=8,求△ABC的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由2asinB=QUOTEb及正弦定理,得sinA=QUOTE,因为A是锐角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面积公式S=QUOTEbcsinA,得△ABC的面积为QUOTE.6、〔2012理〕设的角的对边分别为,且则______【答案】【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理.4、〔2012文〕在中,,则_______.【答案】【解析】由正弦定理得5、〔2011〕在中，假设，则.【答案】【解析】：由正弦定理得又所以1、在△ABC中，角的对边分别为，,，则〔〕A、1B、2C、D、在△ABC中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC的面积为，则〔〕A、B、C、D、3、在△ABC中，角所对的边长分别为，假设120°，，则〔〕A、B、C、D、与的大小关系不能确定5、假设△ABC的周长等于20，面积是，60°，则边的长是〔〕A、5 B、6 C、7 D、87、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为〔〕A、52B、C、16D、411、在中.假设b=5，，sinA=，则___________________.12、假设△ABC的面积为EQ\R(,3)，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于13、如图，在△ABC中，假设，，则。〔二〕求角的问题〔2013·高考文科·Ｔ5〕在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=()A.B.C.D.1【解析】选B。2012**理〕在中,角,,所对的边分别是,,,则(〕A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，又，，所以，易知〔2013·高考文科·Ｔ5〕在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.假设2asinB=b，则角A等于〔〕A.B.C.D.【解题指南】此题先利用正弦定理化简条件等式，注意条件“锐角三角形〞.【解析】选A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以锐角A=.〔2013·高考理科·Ｔ3〕在锐角中，角所对的边长分别为.假设〔〕A．B．C．D．【解题指南】此题先利用正弦定理化简条件等式，注意条件“锐角三角形〞.【解析】选D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以锐角A=.〔2013·**高考理科·Ｔ6〕在△ABC中,则=() A. B. C. D.【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值.【解析】选C.在△ABC中，由余弦定理得，所以由正弦定理得即所以.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，QUOTE.(1)求角B的大小；(2)假设，求b的取值围.【解题指南】(1)借助三角形角和为，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B的方程，求出B的三角函数值，进而可求出角B.〔2〕根据〔1〕求出的B与，由余弦定理可得b2关于a的函数，注意到可知，进而可求出b的围.【解析】〔1〕由得，即.因为，所以,又,所以,又，所以.〔2〕由余弦定理，有，因为，,所以，又因为，所以，即.(2013·高考理科·T16)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.假设,则sin∠BAC=.【解题指南】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得①,因为,又,,所以.又由①得,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2所以.【答案】〔2013·高考文科·T5〕ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c.假设a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是.【解析】【答案】设的角，，的对边分别为，〔=1\*ROMANI〕求;〔=2\*ROMANII〕假设,求.【解题指南】〔=1\*ROMANI〕由条件确定求应采用余弦定理.〔=2\*ROMANII〕应用三角恒等变换求出及的值，列出方程组确定的值.【解析】〔=1\*ROMANI〕因为.所以.由余弦定理得，因此.〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕知，所以.故或，因此或10、〔2012理〕在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.〔I〕求的值;〔Ⅱ〕边a,b,c成等比数列,求的值.【解析】〔I〕由〔Ⅱ〕解法一：，由正弦定理得，解法二：，由此得，得所以〔2012文〕△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.3cos(B-C)-1=6cosBcosC.〔1〕求cosA;〔2〕假设a=3,△ABC的面积为,求b,c.【解析】〔1〕则.〔2〕由〔1〕得,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理则②,①②两式联立可得或7、〔2011全国〕△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知.〔I〕求B；〔Ⅱ〕假设.【解析】〔I〕由正弦定理得由余弦定理得.故，因此〔II〕故.1、的角的对边分别为，假设成等比数列，且，则〔〕A、B、C、D、2、在△ABC中，60°，，则等于〔〕A、45°或135°B、135°C、45°D、以上答案都不对4、在△ABC中，，，，则等于〔 〕A、30° B、45° C、60° D、120°6、在△ABC中，，则为〔〕A、 B、 C、 D、或7、△ABC的面积为，且，则等于〔〕A、30° B、30°或150° C、60° D、60°或120°8、在△ABC中,,则的值为〔〕A、B、C、D、10、假设△的角，满足，则 A． B． C． D．11、在中，角所对的边分．假设，则 A．-B． C．-1 D．112、在△ABC中，45°,则。13、在△ABC中，,30°，则。14、分别是△ABC的三个角所对的边，假设，,则。15、在△ABC中，，则△ABC的最大角的度数是16、，则17、在中，角所对的边分别为，假设，，,则角的大小为.〔三〕判断三角形形状的问题设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,假设,则△ABC的形状为() A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向.【解析】选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2sinA=sin2A,sinA=11、在△中，假设，则△是〔〕A、直角三角形B、等边三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形2、在中，，则一定是〔〕A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形3、△ABC中，，则此三角形一定是〔〕A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形4、在△ABC中，假设，则△ABC的形状是〔〕A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形7、在△ABC中，30°,,，则这个三角形是〔〕A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形8、△ABC中，，则△ABC为〔〕A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等边三角形D、等腰三角形9、关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是〔〕A、直角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形10、△ABC中，，则三角形为。〔四〕三角形的面积的问题〔2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ4〕的角的对边分别为，，，，则的面积为〔〕A.B.C.D.【解析】选B.因为,所以.由正弦定理得，解得。所以三角形的面积为.因为，所以，选B..(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)假设b=2,求△ABC面积的最大值.【解题指南】(1)将a=bcosC+csinB“边化角〞,化简求得B.(2)利用角B、边b将△ABC面积表示出来,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,所以tanB=1,解得B=QUOTE(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accosQUOTE,即4=a2+c2-QUOTEac,由不等式得a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-QUOTE)ac,解得ac≤4+2QUOTE,所以△ABC的面积为QUOTEacsinQUOTE≤QUOTE×(4+2QUOTE)=QUOTE+1.所以△ABC面积的最大值为QUOTE+1.1、在△ABC中，,,，则△ABC面积为〔〕A、 B、 C、或 D、 或2、△ABC的三边长则△ABC的面积为〔〕A、 B、 C、