2023-2024学年四川省威远县龙会中学高二上数学期末调研试题含解析

2023-2024学年四川省威远县龙会中学高二上数学期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.2．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（）A. B.C. D.3．如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（）A. B.C. D.4．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.5．在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（）A. B.C. D.6．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.7．已知直线与圆相切，则的值是（）A. B.C. D.8．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：509．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.10．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.911．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）A.3 B.4C.5 D.612．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，则__________；记表示不超过的最大整数，例如，若，设的前项和为，则__________14．已知向量，，若与垂直，则___________.15．已知点，，点P在x轴上，且，则点P的坐标为______16．已知，分别是椭圆和双曲线的离心率，，是它们的公共焦点，M是它们的一个公共点，且，则的最大值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，（1）求动点Q的轨迹的方程E；（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标18．（12分）已知圆过点，，且圆心在直线：上.（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.19．（12分）已知函数.（1）求的导数；（2）求函数的图象在点处的切线方程.20．（12分）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长21．（12分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程22．（10分）在等差数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设，对实数的取值进行分类讨论，求得，解不等式，综合可得出实数的取值范围.【详解】设，其中.①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，解得，此时不存在；②当时，，解得；③当时，即当时，函数在区间上单调递减，则，解得，此时不存在.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.2、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D3、D【解析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.【详解】.故选：D.4、C【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是,故选C.5、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【详解】因为，所以，由余弦定理得，，所以，设外接圆的半径为，由正统定理得，，所以，所以外接圆的面积是.故选：B.6、C【解析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>-3，所以.故选：C7、D【解析】直线与圆相切，直接通过求解即可.【详解】因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，.故选：D8、B【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.【详解】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.9、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B10、D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等11、C【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，所以由弦长公式有，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，所以，故选：C.12、B【解析】由可得，利用导数判断函数在上的单调性，由此比较函数值的大小确定正确选项.【详解】∵∴，当时，，∴，故∴在内单调递增，又，∴，所以故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.；②.60.【解析】先根据并结合等差数列的定义求出；然后讨论n的取值范围，讨论出分别取1,2,3,4,5的情况，进而求出.【详解】由题意，，n=1时，，满足，时，，于是，，因为，所以.所以，是1为首项，2为公差的等差数列，所以.若，即时，，若，则时，，若，则时，，若，则时，，若，则或22时，，于是，.故答案为：2n-1；60.14、【解析】根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解：与垂直，，则，解得：，，则，.故答案为：.15、【解析】设，由，可得，求解即可【详解】设，由故解得：则点P的坐标为故答案为：16、【解析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到的关系，然后利用三角换元求最值即可.【详解】解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为，半焦距为c，设，，，因为，所以由余弦定理可得，①在椭圆中，，①化简为，即，②在双曲线中，，①化简为，即，③联立②③得，，即，记，，，则，当且仅当，即，时取等号故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.【小问1详解】∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q轨迹的方程为.【小问2详解】设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同理设，，直线的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点的坐标为，则直线MN的斜率为，即方程为，整理得，故直线MN恒过定点.18、（1）；（2）【解析】(1)根据题意设圆心，利用两点坐标公式求距离公式表示出，解出，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得，利用直线的两点式方程即可得出结果.【小问1详解】圆过点，，因为圆心在直线：：上，设圆心，又圆过点，，所以，即，解得，所以，所以故圆的方程为：；【小问2详解】点关于轴的对称点，则反射光线必经过点和点，由直线的两点式方程可得，即：.19、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算作答.(2)求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【小问1详解】函数定义域为，所以函数.【小问2详解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函数的图象在点处的切线方程是.20、（1）（2）或，【解析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【小问1详解】设圆心，因为圆心C在直线上，所以①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即②联立①②，解得，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解】若过点P的切线斜率不存在，则切线方程为若过点P的切线斜率存在，设为k，则切线方程为，即由，解得，所以切线方程为综上，过点P的圆C的切线方程为或设PC与DE交于点F，因为，，PC垂直平分DE，所以，所以所以21、（1）；（2）或.【解析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.【小问1详解】∵短轴长为2，∴，∴，又∵点在C上，∴，∴，∴椭圆C的标准方程为；【小