2023-2024学年江苏省南京市附中高二上数学期末考试试题含解析

2023-2024学年江苏省南京市附中高二上数学期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则条件“”是条件“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.2．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A.外离 B.外切C.内含 D.内切3．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为A B.4C. D.4．已知直线l：，则下列结论正确的是（）A.直线l的倾斜角是B.直线l在x轴上的截距为1C.若直线m：，则D.过与直线l平行的直线方程是5．抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.6．在正方体中，与直线和都垂直，则直线与的关系是（）A.异面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交7．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为328．过点，且斜率为2的直线方程是A. B.C. D.9．已知直四棱柱的棱长均为，则直线与侧面所成角的正切值为（）A. B.C. D.10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（）A. B.C. D.11．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（）A.2023 B.2022C.2021 D.202012．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________14．已知三个数2，，6成等比数列，则实数______15．已知圆C，直线l：，若圆C上恰有四个点到直线l的距离都等于1.则b的取值范围为___.16．已知函数，若递增数列满足，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值20．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点21．（12分）已知与定点，的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于M，N两点.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若，求.22．（10分）已知数列的前n项和为，，，其中.（1）记，求证：是等比数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【详解】因为，所以，所以.故选：A2、C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.【详解】由两圆的标准方程可得，，，；则，所以两圆不可能内含.故选：C.3、D【解析】设椭圆短轴的一个端点为根据椭圆方程求得c，进而判断出，即得或令，进而可得点P到x轴的距离【详解】解：设椭圆短轴的一个端点为M由于，，；，只能或令，得，故选D【点睛】本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题4、D【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；故选：D5、A【解析】将抛物线的方程化成标准形式，即可得到答案；【详解】抛物线的方程化成标准形式，准线方程为，故选：A.6、B【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算可得，根据共线定理即可判断.【详解】设正方体的棱长为1.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则.设，则，取.，.故选：B【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.7、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D错误.故选：D8、A【解析】由直线点斜式计算出直线方程.【详解】因为直线过点，且斜率为2，所以该直线方程为，即.故选【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单.9、D【解析】根据题意把直线与侧面所成角的正切值转化为在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【详解】由题意可知直四棱柱如下图所示：取的中点设为点，连接，在直四棱柱中，面，面，，在四边形中，，，故且.面，面，面，.故直线与侧面所成角的正切值为.故选：D.10、C【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.11、C【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.【详解】因为，令，得，又，，所以，有，解得.故选：C12、D【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为可得，乙组的平均数：，解得：，则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据14、【解析】由题意可得，从而可求出的值【详解】因为三个数2，，6成等比数列，所以，解得故答案为：15、【解析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】圆C：的半径为3，圆心坐标为：设圆心到直线l：的距离为，要想圆C上恰有四个点到直线l的距离都等于1，只需，即，所以.故答案为：.16、【解析】根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于是递增数列，所以.所以的取值范围是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径【小问1详解】∵圆C：，∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，∵直线y＝x，即x－y＝0，∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝【小问2详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，∴x2－2x－7＝0，则，|x1－x2|＝＝，∴圆心的横坐标为x＝，∵圆心在直线y＝x+1上，∴圆心为(1,2)，∴半径r＝，故圆M的方程为18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因为平面ABCD，平面ABCD，所以，②由①②及，平面PAC，得平面PAC.又由平面PCD，所以平面平面PAC.【小问2详解】因为AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3），，.设平面PCD的法向量为，则，取，则，，则.平面PAB的一个法向量为，所以，所以平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，因为，，所以，即；【小问2详解】设平面的法向量为因为，由，得，令，则所以平面的一个法向量为，又所以故直线与平面所成角的正弦值为20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的定义求得的值得双曲线方程；（2）确定垂直于轴，设直线BP的方程为，设，，则，直线方程代入双曲线方程，由相交求得范围，由韦达定理，利用N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的关系，代入韦达定理的结论可求得的值，从而得直线BP所过定点【小问1详解】因为，所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；【小问2详解】证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，设，，则，联立，化简得：，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化简得：，∴，∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点21、（1）（2）或【解析】（1）设曲线上的任意一点，由题意可得，化简即可得出（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率不存在时，即可求出、的坐标，从而求出，当直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，消元列出韦达定理，则，即可求出，从而求出直线方程，由圆心在直线上，即可求出弦长；【小问1详解】解：（1）设曲线上的任意一点，由题意可得：，即，整理得【小问2详解】解：依题意当直线的斜率不存在时，直线方程为，则，则或，即、，所以、，所以满足条件，此时，当直线的斜率存在，设直线方程为，，，则，消去