人教版数学八年级上册 11.3 多边形及其内角和

11.3多边形及其内角和11.3.1多边形1.掌握多边形定义及相关概念.2.了解什么是凸多边形，什么是凹多边形.3.掌握正多边形的定义.4.复习三角形的有关知识，用类比的方法引出多边形的定义及多边形的对角线概念.运用四边形、五边形等简单的多边形作为例子学习对角线、凸多边形、凹多边形等概念，最后学习正多边形的概念.5.让学生体验“由特殊到一般”的思维方法，从中体验数学的乐趣.【教学重点】多边形、正多边形的定义及相关概念.【教学难点】1.凸多边形、凹多边形的定义.2.正多边形的定义.一、情境导入，初步认识问题1回顾三角形的定义及边、角、外角的概念，类似地对四边形、五边形、多边形下定义.问题2如图是五边形ABCDE，连AC、AD，从而引出多边形对角线的定义.问题3如图，两个四边形ABCD，A1B1C1D1是不同类型的两种四边形，前者是凸四边形，后者是凹四边形，请将两个图形的各边都向两边延长，观察它们的区别，从而探究凸多边形与凹多边形的定义.问题4画一个正三角形、正方形，从它们的边角特点探究正多边形的定义.【教学说明】全班同学分组讨论，8分钟后交流成果，老师巡回指导，随时了解学习情况.对问题1要顺便指导学生多边形的命名法及表示法.对问题2要求画出五边形的全部对角线，并数一数共有多少条.对问题3要告诉同学们多边形可分为凸多边形和凹多边形两类，今后如果没有特别说明，一般只讨论凸多边形.对问题4，告诉学生要从边角两个方面考虑.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考为什么正多边形的定义要强调各条边相等，各个角相等？【归纳结论】1.定义：多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.凸多边形与凹多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫凸多边形，如果整个多边形不都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形.正多边形：各条边都相等，各角都相等的多边形叫做正多边形.2.只有各条边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形的四边都相等，但它不一定是正四边形（即正方形）.只有各角都相等的四边形不一定是正多边形，如长方形的各角都相等，但它不一定是正四边形.三、运用新知，深化理解1.下列图形中是正多边形的是（）A.等边三角形B.长方形C.边长相等的四边形D.每个角都相等的六边形2.如果把一个三角形剪掉一个角，剩余的图形是几边形？3.画出下列多边形的全部对角线，想一想，n边形共有多少条对角线？（提示：n边形共有条对角线）4.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.一共需进行场比赛.5.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？（提示：从n边形的一个顶点出发，可以画出（n-3）条对角线，它们把n边形分成（n-2）个三角形.本题为下节课作好铺垫）.【教学说明】题1、2、3由学生自主完成，题4、5让同学们分组讨论，互相交流，再由教师给予指导和总结.【答案】1.A解析：因为三角形具有稳定性，当三角形的各边相等时，各角也相等，而其他多边形不具有稳定性，因此判定正多边形必须同时具备各边都相等，各内角都相等两个条件.2.解：把一个三角形剪掉一个角分两种情况：第一种情况如图(1)所示，此时剩余部分为三角形；第二种情况如图(2)所示，此时剩余部分为四边形.3.解：如图4.15解析：本题体现数学与体育学科的综合，解题方法可参照多边形对角线条数的求法，总场数即为多边形的对角线条数加边数.如图所示，共需比赛（场）.5.解：四边形可以分成2个三角形；五边形可以画出2条对角线，分成3个三角形；n边形可以画出（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形.四、师生互动，课堂小结请学生总结本节学习重点，教师将小结内容出示在屏幕上.1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组之间充分交流后概括所得结论，既巩固了三角形的知识，又用类比的方法引出多边形的有关概念，加深对本课时的学习.11.3.2多边形的内角和1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.3.通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.4.通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.【教学重点】多边形的内角和定理、外角和定理.【教学难点】探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.一、情境导入，初步认识问题1从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将五边形分为个三角形，五边形的内角和等于180°×.从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将六边形分为个三角形，六边形的内角和等于180°×.……从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引条对角线；它们将n边形分为个三角形，n边形的内角和等于180°×.问题2如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考n边形的内角和、外角和分别是多少？【归纳结论】n边形的内角和等于（n-2）×180°.多边形的外角和等于360°.三、运用新知，深化理解1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形2.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后左转40°，再沿直线前进10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了米.3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.（提示：连AE，得五边形ABCDE）5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.【答案】1.C解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.2.90解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=90米.3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.4.解：如图，连结AE.在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，又∠AHE=∠FHG∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA即为五边形的内角和∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°5.解：设这个多边形边数为n，因为2750°=15×180°+50°，所以n-2=16，50°+α=180°∴∠α=130°，n=18.6.解：5243°=29×180°+23°由（n-2）×180°=29×180°得n=31180°-23°=157°所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.四、师生互动，课堂小结1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.2.多边形的外角和等于360°.3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-