初始孔压分布形式对竖向排水井地基固结的影响

初始孔压分布形式对竖向排水井地基固结的影响

关于垂直排水井地板固结的分析和设计计算，国内外均以相应的分析理论为基础。Barron首先给出了等应变和自由应变两种极端情况下的砂井理论,Yoshikuni等人建立了严密的自由应变条件下考虑井阻作用的竖向排水井理论,Hansbo给出了等应变条件下考虑井阻和涂抹作用的竖向排水井理论,谢康和等证明并提出了与Carrillo理论相适应的等应变条件下考虑径竖向组合渗流的竖向排水井固结方程并得到了解析解。在竖向排水井地基数值解方面,一般以Biot固结方程和有限元法为基础,如赵维炳提出了分析竖向排水井地基固结的平面应变有限元法。近年来,亦有不少学者开展了关于竖向排水井地基固结的其他研究工作,如李小勇将概率方法引入竖向排水井地基固结的分析中,得出了竖向排水井地基概率设计的简化分析方法。但是,现有研究大都建立在初始孔压沿深度是均布的假定之上,而在实际工程中,外部荷载并非连续的均布荷载,其在地基中产生的附加应力是沿深度变化的,也即初始孔压沿深度是非均布的。因此,研究考虑初始孔压非均布的竖向排水井地基的固结问题,既有理论意义也更有实际价值。本文首先推导等应变条件下初始孔压任意分布的竖向排水井地基固结一般解,并具体给出初始孔压呈梯形、正三角形和倒三角形等分布形式时的完整解析解,然后以这些解为基础,编制计算程序,绘制有关固结曲线,并就初始孔压分布形式对竖向排水井地基固结性状的影响进行分析和讨论。最后结合某工程实例分析,将本文理论和现有理论的计算结果与实测数据作比较。1数学模型1.1竖向排水井的渗透系数及竖向规划图1为竖向排水井地基固结计算简图,图中H为地基软土层厚度;rw、rs、re分别为竖向排水井半径、涂抹区半径和影响区半径;kw、kv、kh、ks分别为竖向排水井的渗透系数、地基原状土竖向渗透系数、水平向渗透系数和涂抹区土体渗透系数;mv为土体体积压缩系数;uw、us、un分别为竖向排水井内任一深度的超静孔压、涂抹区内和未扰动区(即原状土)内任一点的孔压;r、z为径向及竖向坐标。地基排水条件为单面排水或双面排水。1.2竖向排水井与土体内部渗流随径向的规律本文作以下假定:(1)等应变条件成立,即竖向排水井地基中无侧向变形,同一深度上任一点的竖向变形是相等的;(2)土中水的渗流服从Darcy定律;(3)任一深度处从土体中沿井周流入竖向排水井的水量等于从竖向排水井中流出的水量的增量;(4)涂抹区土体与未扰动区土体除径向渗透系数不同外,其他性质相同;(5)竖向排水井内径向渗流可以忽略,孔压uw沿径向不变;(6)初始孔压非均布。1.3固结方程的计算条件根据本文假定,可得到竖向排水井地基固结方程∂εv∂t=-mv∂ˉu∂t(1)-ksγw(1r∂us∂r+∂2us∂r2)-kvγw∂2ˉu∂z2=∂εv∂t(rw≤r≤rs)(2)-khγw(1r∂un∂r+∂2un∂r2)-kvγw∂2ˉu∂z2=∂εv∂t(rs≤r≤re)(3)∂εv∂t=−mv∂u¯∂t(1)−ksγw(1r∂us∂r+∂2us∂r2)−kvγw∂2u¯∂z2=∂εv∂t(rw≤r≤rs)(2)−khγw(1r∂un∂r+∂2un∂r2)−kvγw∂2u¯∂z2=∂εv∂t(rs≤r≤re)(3)以及井周的流量连续方程∂2uw∂z2=-2ksrwkw∂us∂r|r=rw(4)∂2uw∂z2=−2ksrwkw∂us∂r|r=rw(4)式中:εv为任一深度土体的体积应变;ˉuu¯为任一深度的平均孔压。平均孔压可表示为ˉu=1π(r2e-r2w)(∫rsrw2πrusdr+∫rers2πrundr)(5)u¯=1π(r2e−r2w)(∫rsrw2πrusdr+∫rers2πrundr)(5)式(1)～式(3)固结方程的求解条件如下。边界条件:①r=re∶∂un∂r=0;②r=rs∶ks∂us∂r=kh∂un∂r;③r=rs∶us=un;④r=rw∶us=uw;⑤z=0∶uw=0,ˉu=0;⑥z=Η∶∂uw∂z=0,∂ˉu∂z=0(单面排水),uw=0,ˉu=0(双面排水)。初始条件:t=0∶ˉu(z)=u0(z),其中u0(z)为沿深度任意分布的初始孔压。2方程解2.1竖向排水井中孔压uwus=γw2ks(r2elnrrw-r2-r2w2)(∂εv∂t+kvγw∂2ˉu∂z2)+uw(rw≤r≤rs)(6)un=[γw2kh(r2elnrrs-r2-r2s2)+γw2ks(r2elns-r2s-r2w2)](∂εv∂t+kvγw∂2ˉu∂z2)+uw(rs≤r≤re)(7)式中:s=rs/rw,为涂抹区半径与竖向排水井半径之比。将式(6)、式(7)代入式(5),并利用式(1),可得:ˉu=-r2eFa2ch(∂ˉu∂t-cv∂2ˉu∂z2)+uw(8)式中:Fa=(lnns+khkslns-34)n2n2-1+s2n2-1(1-khks)(1-s24n2)+khks1n2-1(1-14n2);cv=kvmvγw,ch=khmvγw,分别为地基土的竖向和径向固结系数;n=re/rw,为井径比。结合式(1)、式(4)、式(6)和式(8),可得:∂2uw∂z2=-(n2-1)2r2eFakhkw(ˉu-uw)(9)将边界条件⑤代入式(9),可得新的边界条件:⑦z=0:∂2uw∂z2=0(单面或双面排水)。将式(9)关于z求导,并利用边界条件⑥还可得到:⑧z=H:∂3uw∂z3=0(单面排水);⑨z=H:∂2uw∂z2=0(双面排水)。联立式(8)和式(9),可得:cv∂4uw∂z4-∂3uw∂z2∂t-ch2r2eFa[1+kvkw(n2-1)]∂2uw∂z2+(n2-1)2r2eFakhkw∂uw∂t=0(10)式(10)即为竖向排水井中孔压uw的控制方程。对式(10)采用分离变量法求解。设:uw(z,t)=Zw(z)T(t),并利用式(8)和边界条件⑤～⑧,可得:uw=∞∑m=1AmDmFa+DmsinΜzΗe-βmt(11)ˉu=∞∑m=1AmsinΜzΗe-βmt(12)式中:Μ=2m-12π,m=1,2,⋯;βm=cvΜ2Η2+ch2r2e1Fa+Dm;Dm=8Μ2n2-1n2G;G=khkw(Ηdw)2,为井阻因子。类似地,对于双面排水条件,利用边界条件⑤、⑥、⑦和⑨,可得到与式(11)和式(12)相同的uw和ˉu表达式,只是其中的M应为:M=mπ,m=1,2,…。最后根据初始条件:t=0,ˉu(z)=u0(z),并利用三角函数正交性,可以求得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Η∫Η0u0(z)sinΜzΗdz(13)将式(1)、式(11)、式(12)代入式(6)、式(7),即可得任一深度涂抹区和未扰动区超静孔压的表达式:us=∞∑m=1AmFa+Dm[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(14)un=∞∑m=1AmFa+Dm[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤re)(15)综上,式(11)、式(12)及式(14)、式(15)即为等应变条件下考虑初始孔压任意分布的竖向排水井地基固结的一般解。2.2在特殊情况下，初孔压分布根据初始孔压u0(z)具体分布情况(见图2),可进一步得到各种特殊情况下的竖向排水井地基平均孔压和平均固结度的表达式。2.2.1竖向排水固结度计算对于梯形分布的初始孔压(见图2(a)),u0(z)=pΤ+(pB-pΤ)zΗ,将其代入一般解,在单面排水条件下,可得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Μ[pΤ-(-1)mpB-pΤΜ](16)ˉu=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2sinΜzΗe-βmt(17)uw=∞∑m=12Dm[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)sinΜzΗe-βmt(18)us=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(19)un=∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2(Fa+Dm)[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤re)(20)进一步,可以求得竖向排水井地基任一深度处的固结度U(z,t)和总平均固结度ˉU如下:U(z,t)=1-ˉuu0(z)=1-∞∑m=12[ΜpΤ-(-1)m(pB-pΤ)]Μ2[pΤ+(pB-pΤ)z/Η]sinΜzΗe-βmt(21)ˉU=1-Η∫0ˉudzΗ∫0u0(z)dz=1-∞∑m=14Μ2(pB+pΤ)[pΤ-(-1)mpB-pΤΜ]e-βmt(22)式中:Μ=2m-12π,m=1,2,⋯。在双面排水情况下,同理可求得:Am=∫Η0u0(z)sinΜzΗdz∫Η0(sinΜzΗ)2dz=2Μ[pΤ-(-1)mpB](23)ˉu=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]sinΜzΗe-βmt(24)uw=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]DmFa+DmsinΜzΗe-βmt(25)us=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]1Fa+Dm[khks(lnrrw-r2-r2w2r2e)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rw≤r≤rs)(26)un=∞∑m=12Μ[pΤ-(-1)mpB]1Fa+Dm[(lnrrs-r2-r2s2r2e)+khks(lns-s2-12n2)+Dm]sinΜzΗe-βmt(rs≤r≤rc)(27)U(z,t)=1-∞∑m=12[pΤ-(-1)mpB]Μ[pΤ+(pB-pΤ)z/Η]sinΜzΗe-βmt(28)ˉU=1-∞∑m=14Μ2[pΤ-(-1)mpB](pΤ+pB)[1-(-1)m]e-βmt=1-∞∑m=14Μ2[1-(-1)m]e-βmt(29)式中:M=mπ,m=1,2,…。从式(29)可见,在双面排水的条件下,平均固结度ˉU不受初始孔压分布形式的影响。2.2.2基固结解析解在此情况下,pB=pT=q0(见图2(b)),则式(17)、式(22)退化为现有等应变条件下的竖向排水井地基固结解析解,即对于单面排水条件,有:ˉu=∞∑m=12q0ΜsinΜzΗe-βmt；ˉU=1-∞∑m=12Μ2e-βmt(30)对于双面排水条件,由式(24)可以得到:ˉu=∞∑m=12q0Μ[1-(-1)m]sinΜzΗe-βmt(31)由此可以看出,现有等应变条件下,打穿竖向排水井地基固结理论解是本文解的特例。2.2.3u+m的me-mtˉu=-∞∑m=12pBΜ2(-1)msinΜzΗe-βmt；ˉU=1+∞∑m=14Μ3(-1)me-βmt(32)在双面排水的条件下,由式(24)可以得到:ˉu=-∞∑m=12pBΜ(-1)msinΜzΗe-βmt(33)2.2.4初始孔压分布形式ˉu=∞∑m=12pΤΜ[1+(-1)mΜ]sinΜzΗe-βmt；ˉU=1-∞∑m=14Μ2[1+(-1)mΜ]e-βmt(34)在双面排水的条件下,由式(24)可以得到:ˉu=∞∑m=12pΤΜsinΜzΗe-βmt(35)由式(31)、式(33)和式(35)可见,平均孔压ˉu仍受初始孔压分布形式的影响。3初始孔压分布为分析初始孔压非均布对竖向排水井地基固结性状的影响和本文理论的实际应用,根据上述解编制了计算程序。考虑初始孔压非均布的竖向排水井地基的固结主要取决于无量纲参数:n,s,kw/kh,kh/ks和初始孔压分布形式等。关于井阻和涂抹作用对竖向排水井地基固结性状的影响,文献已做过分析,因此这里将着重分析初始孔压分布形式对固结性状的影响。若记α=pT/pB(参见图2),则当初始孔压均布时,α=1;当初始孔压为正三角形分布时,α=0;当初始孔压为倒三角形分布时,α=∞;当初始孔压为梯形分布时,0<α<∞。因此,只需考虑α=0、α=1和α=∞三种情况,初始孔压为梯形分布的固结曲线必介于α=0和α=∞的两条曲线之间。计算中:(1)α=0时,取pT=0kPa,pB=100kPa;α=1时,取pT=pB=100kPa;α=∞时,取pT=100kPa,pB=0kPa;(2)不考虑涂抹作用,即假设s=1或kh/ks=1。计算结果如图3～图6所示,图中q0=100kPa,为参考压力;Tv=cvt/H2,为时间因子。图3、图4分别为井径比n=10、n=20时,考虑不同初始孔压分布形式的竖向排水井地基的固结度曲线。从中可见,在单面排水条件下,初始孔压为倒三角形时,竖向排水井地基固结最快;初始孔压均布时,次之;初始孔压为正三角形分布时固结最慢。而在双面排水条件下,不管初始孔压如何分布,平均固结度曲线均相同(见式(29)),且比单面排水时固结要快。比较两图可见,井径比n越大,固结越慢。图5和图6分别为在单面、双面排水条件下,当井径比n=20、Tv=0.01时考虑不同初始孔压分布的竖向排水井地基的平均超静孔压沿深度分布曲线。从图中可以看出,初始孔压分布形式对超静孔压的影响比对固结度的影响更加显著。在同一时刻,初始孔压均布时的超静孔压最大。4量纲计算参数现利用本文理论对杭甬高速公路软基处理试验段进行计算分析。软土层物理力学指标及砂井设计参数为:H=15m,de=1.58m,dw=0.068m,kh=1.81×1010m/s,kv=1.2×1010m/s。预压荷载值为q=0.056MPa。土层排水情况为单面排水。无量纲计算参数在表1中列出。根据附加应力计算结果,按初始孔压为梯形分布考虑,取土层顶面(上)初始孔压pT=q=0.056MPa,土层底面(下)初始孔压pB=0.008MPa,由本文理论计算得到500d时的固结度为81.31%。如采用现有