四川省雅安市天立高级中学2022-2023学年高二上学期第三次月考 数学（文）试题（含解析）

雅安天立学校高2021级2022-2023学年度上期第三次教学质量测试数学（文科）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.：与：平行，则实数（）A.1 B.2 C.63 D.－1【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行的条件即可解得实数的值.【详解】由：与：平行，由的斜率为1，则的斜率为，则当时，：与平行.故选：D2.以原点为圆心，为半径的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，已知圆心和半径，代入圆的标准方程即可求解.【详解】由题意知：圆心坐标为，圆的半径，所以所求圆的标准方程为，故选：B.3.椭圆的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆标准方程求解即可.【详解】由于椭圆标准方程为：.，，所以，则.又，所以焦点在轴上，故焦点坐标为：.故选：C.4.抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.6.已知抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离，列方程求出的值.【详解】依题意可知，，故选：C7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值模拟程序的运行过程第1次循环，，为否第2次循环，，为否第3次循环，，为否第4次循环，，为是退出循环输出.故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：如图所示：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+2，b=1-2当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1结合图象可得≤b≤3故答案为C9.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．10.方程化简的结果是（）A. B.C.， D.，【答案】C【解析】【分析】考虑方程的几何意义是动点到定点的距离之差，利用双曲线的定义可知动点的轨迹是以，为焦点，实轴为6的双曲线的右支，从而可求.【详解】方程的几何意义是动点到定点，的距离之差为6，由，∴动点的轨迹是以，为焦点，实轴为6的双曲线的右支，∴方程为，.故选：C.11.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.12.正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】如图根据对称性，点D在直线y=x上，可得,即.可得，解得.本题选择A选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上温馨提示：答填空题时，尽量贴近横线书写，字体不要太大，避免扫描时只截取部分内容13.某公司有职工人，其中业务人员人，管理人员人，内勤人员人.若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为______.【答案】4【解析】【分析】根据分层抽样的定义结合已知条件求解即可.【详解】根据题意可知应抽取管理人员的人数为（人），故答案为：414.若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】【详解】作出可行域平移直线，由图可知目标函数在直线与的交点处取得最大值3故答案3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．15.已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．【答案】【解析】【分析】先由题意判断得，再由点差法求得，由此得到，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程.【详解】依题意，设，若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，因为A，B是抛物线上的两点，所以，两式相减得，，整理得，因为线段AB的中点为，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.16.若抛物线上一点到焦点的距离为6，P、Q分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据抛物线定义有，即可求参数p，再将问题转化为求圆心到抛物线上点最小距离，结合两点距离公式及二次函数性质即可求的最小值.【详解】由题设及抛物线定义知：，可得，故，而的圆心为，半径为1，所以最小，则共线且，故只需最小，令，则，且，当时，，故的最小值为.故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知△ABC底边两端点、，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为，求点A的轨迹方程．【答案】【解析】【分析】设，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意.【详解】设且，则，整理得：A的轨迹方程.18.求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.【答案】【解析】【分析】解法一：先取得两直线的交点，再根据与直线垂直求解；解法二：根据直线l垂直于直线，设直线l的方程为，再将.与的交点代入求解；解法三：根据直线l过与的交点，设直线l的方程为，再根据与直线垂直求解.【详解】解法一：由，解得直线的斜率为，直线的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为：，即.解法二：直线l垂直于直线.设直线l的方程为.与的交点为，，解得从而.所以直线l的方程为.解法三：因为直线l过与的交点，设直线l的方程为，即，与直线垂直，，解得.直线l的方程为.19.已知两圆和．求：（1）取何值时两圆外切？（2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【小问1详解】由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：，则圆心分别为，半径分别为和，当两圆外切时，满足；【小问2详解】当时，有，则，所以两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，圆心到直线的距离，所以公共弦长．20.在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆左焦点，且斜率为直线与椭圆交于，两点，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据题意可得，，所以，即可求得椭圆方程；

设，，过且斜率为的直线方程为：，直线与椭圆方程联立，消得的一元二次方程，结合韦达定理，即可求的面积．【小问1详解】椭圆的焦点为，，

半焦距，

椭圆的右焦点到上顶点的距离为，

，

椭圆的方程为．【小问2详解】设，，

过且斜率为的直线方程为：，

代入椭圆的方程，化简可得，，则，.21.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为．设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．[方法四]：参数+基本不等式法由题可设．因为，所以．于是，所以则直线的斜率为．当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.22.已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．【答案】（1）（2）证明见解析，定点为【解析】【分析】（1）根据题意求出即可得解；（2）分设，直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设不经过点的直线方程为：，联立方程，利用韦达定理求出，再根据直线与的斜率之和为求出的关系，即可得出结论.【小问1详解】由点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为可知，解得：，，椭圆的标准方程：；【小问2详解】设，当直线的