2023届新高考数学一轮复习函数的单调性与最值专题强化练习含解析

Page15函数的单调性与最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知是R上的奇函数，，当，且时，，当时，不等式的解集为(

)A. B. C. D.若函数在为单调增函数，则实数a的取值范围是(

)A. B.

C. D.已知定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为A. B. C. D.如果函数在区间上单调递减，那么mn的最大值为(

)A.16 B.18 C.25 D.定义在R上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值为(

)A. B. C. D.己知函数，且，则a，b，c的大小为(

)A. B. C. D.切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差E：对任意的，函数的最大值为E，即把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为(

)A. B.1 C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）若函数在上的最大值为M，最小值为m，则(

)A. B. C. D.三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）已知函数为上的增函数，若，则实数a的取值范围是__________.已知函数，则__________；若在既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为__________若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________.已知函数，，a为常数．若对于任意，，且，都有，则实数a的取值范围是_______.已知函数，，若、，使得，则实数a的取值范围为__________.四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分

若是定义在上的增函数，且

.

求的值；若，解不等式本小题分已知奇函数，函数的最大值为求实数a的值；求；令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值．

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查抽象函数，函数的奇偶性、对称性、周期性，不等式解集，是中档题.

由已知可判断函数为奇函数，图象关于直线对称，周期为4，由此可解.【解答】解：当，，且时，，

在区间上是增函数，

是R上的奇函数，，且在区间上是增函数.

时，，当时，

，的图象关于直线对称，

，且在区间上是减函数.

又，

，即函数的周期为

是区间上的减函数，且

综上所述，不等式的解集为

故选：

2.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．

先看时，已知条件不成立，再看时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：①当时，

函数在上先递增再单调递减，结论不成立．

②当时，

，

若在为单调增函数，

则在恒成立，

因为当时，所以

不等式两边同时除以得

故在恒成立，

而在的最大值是1，

故，

故选：

3.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查二次函数求最值及函数解析式的求法，属于中档题.

由题意，易得时，有，对区间进行拆分，考虑①和②两种情况，分别求出对应的解析式，再根据二次函数的性质求得函数的最值即可.【解答】解：由题意，当时，，

在中，令，即得，

所以符合式，

即得时，有，

下面分两种情况进行考虑：

①当时，

因为当时，，

所以，

又，

所以，

所以，

即得，

由二次函数性质可知，

当时，函数取得最小值为；

②当时，有，

所以，

又，

所以，

由二次函数性质可知，

当时，函数取得最小值为

所以故最小值为

故选：

4.【答案】B

【解析】【分析】本题综合考查了二次函数和基本不等式的运用，利用导数研究函数的单调性，题目有一定的难度．

函数在区间上单调递减，则，故在上恒成立．故只须在两个端点处，即可，结合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：函数在区间上单调递减，

，即在上恒成立．

只须在两个端点处，即可，

，

由②得，

，

当且仅当，时取得最大值，

由①的，

所以，

当且仅当，时取等号，

因为，

故选

5.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的应用，考查函数的对称性，考查等价转化思想与运算能力，属于较难题．

根据，可得图象关于对称，又当时，，可判断函数在上是减函数，可得对任意上恒成立，进行求解即可.【解答】解：，

函数关于直线对称，

当时，，

当时，为减函数，且；

当时，为减函数，且；

在上是减函数，在是增函数，

若不等式对任意上恒成立，

由对称性可得对任意上恒成立，

而，

则对任意上恒成立，

令，则，

即，即，解得，

实数t的最大值为，

故选：

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性、对数函数的性质，属于难题.

判断出函数为偶函数，利用导数求出时，的单调性，即可求出结果.【解答】解：因为的定义域为R，且，

为偶函数，

当时，，

所以在为增函数，

又，，

所以，

则，

又，

则

故选：

7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了最值的求法，利用了分类讨论的思想，属于拔高题.

根据题意，分别讨论在、、时，E的最值，即可得出结论.【解答】解：由题意，，

则配方

又到与距离相等均为，则只考虑的值即可，

即，

又在上单增，

①即时，

②即时，

③即则

当即时，，

当即时，

当即时，

综上时，E取得最小值

故选

8.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查绝对值函数，求函数的最值问题，属于中档题.

令，，根据函数的单调性求函数的最大值和最小值即可求解．【解答】解：令，，

由，在上单调递增，

可得在上单调递增，

所以的最小值为；

最大值为，

所以，

故选

9.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的应用，属于中档题.

利用函数的定义域和单调性将不等式进行转化，进而求解即可．【解答】解：在为单调递增函数，，

，

即解得，

或，

故答案为：

10.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查了分段函数，以及函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

由分段函数解析式，可先求出，从而求出即可，若在既有最大值又有最小值，则，解不等式组即可.【解答】解：由，可得，

当时，，

若在既有最大值又有最小值，必须满足：，

解得：，

故实数a的取值范围为：

故答案为；

11.【答案】

【解析】【分析】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．

若函数在区间上是增函数，则内外函数的单调性相反，且真数在区间上恒为正，进而得到答案．【解答】解：令，则

当时，为减函数，

此时的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线，

在区间上为增函数，不满足要求；

当时，为增函数，

则在区间上为增函数，且时，函数值大于0，

即，

解得：，

综上所述，

12.【答案】

【解析】【分析】本题考查函数的最值，考查绝对值不等式，考查转化与化归思想，属于中档题．

由题可知，即，所以，然后解绝对值不等式可得，根据函数的性质可知，所以，即可得解.【解答】解：由题可知，即，所以，

又因为，

所以，

所以，

又因为，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，解得，

故答案为

13.【答案】

【解析】【分析】

考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法．

构造函数，利用的单调性求出

【解答】

解：对于任意，且，都有，即

令，即，

只需在单调递增即可.

当时，，图象恒过点，

当时，，当时，，

要使在递增，

则当时，的对称轴，即，

当时，的对称轴，即，

故

故答案为：

14.【答案】

【解析】【分析】根据函数的单调性解得关于a的不等式，解出即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于拔高题．【解答】解：设F、G分别为函数与定义在区间上上的值域，

则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，

、使得

或，

设，，

可得在上递增，在上递减，

所以，

所以解得式，式，

综上：，

故答案为：

15.【答案】解：由，

令，则有；

令，，则，

因为得，

所以原不等式变为，即为，

又是定义在上的增函数，所以，解得，即原不等式的解集为

【解析】本题考查函数的单调性，利用赋值法解决抽象函数问题，属于中档题.问采用赋值法求出的值；

问首先由分析出，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求解即可得出结果．

16.【答案】解：依题意，，

解得，经检验符合题设，

故实数a的值为1；

由有，，可得函数为增函数，

又由，有，

由，

①当，即时，；

②当，即时，；

③当，即时，

综上，