2024届广西崇左市高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届广西崇左市高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）A. B.C. D.2．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.3．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（）A.72 B.56C.48 D.364．已知直线，若异面，，则的位置关系是（）A.异面 B.相交C.平行或异面 D.相交或异面5．已知向量与平行，则（）A. B.C. D.6．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值7．设为数列的前n项和，，且满足，若，则（）A.2 B.3C.4 D.58．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.9．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.10．命题：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>011．已知是等比数列，，，则（）A. B.C. D.12．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，因此得到1000个点对，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从正方体的8个顶点中选取4个作为项点，可得到四面体的概率为________14．椭圆的两焦点为，，P为C上的一点（P与，不共线），则的周长为______.15．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为________cm.16．已知圆和直线.（1）求直线l所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系；（2）求当k取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值18．（12分）如图，在四棱雉中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且（1）求证：平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正弦值19．（12分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？20．（12分）如图，正方体的棱长为2，点为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.21．（12分）动点M到点的距离比它到直线的距离小，记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）已知圆，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为，求直线AB的方程.22．（10分）已知三条直线：，：，：（是常数），.（1）若，，相交于一点，求的值；（2）若，，不能围成一个三角形，求的值：（3）若，，能围成一个直角三角形，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，故与差的绝对值不小于1的概率.故选：C2、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B3、A【解析】以位置优先法去安排即可解决.【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法故安排方法的种数为故选：A4、D【解析】以正方体为载体说明即可.【详解】如下图所示的正方体：和是异面直线，，；和是异面直线，，与是异面直线.所以两直线与是异面直线，，则的位置关系是相交或异面.故选：D5、D【解析】根据两向量平行可求得、的值，即可得出合适的选项.【详解】由已知，解得，，则.故选：D.6、D【解析】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减7、B【解析】由已知条件可得数列为首项为2，公差为2的等差数列，然后根据结合等差数列的求和公式可求得答案【详解】在等式中，令，可得，所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，因为，所以，化简得，，解得或（舍去），故选：B8、C【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值9、B【解析】根据程序框图的循环逻辑写出其执行步骤，即可确定输出结果.【详解】由程序框图的逻辑，执行步骤如下：1、：执行循环，，；2、：执行循环，，；3、：执行循环，，；4、：执行循环，，；5、：执行循环，，；6、：不成立，跳出循环.∴输出的值为.故选：B.10、B【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故选：B11、D【解析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案【详解】由题得.所以，所以.所以，所以数列是一个等比数列.所以=.故选：D12、D【解析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知，根据几何概型的概率公式，得，所以.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】计算出正方体的8个顶点中选取4个作为项点的取法和分从上底面取一个点下底面取三个点、从上底面取二个点下底面取二个点、从上底面取三个点下底面取一个点可得到四面体的取法，由古典概型概率计算公式可得答案.【详解】正方体的8个顶点中选取4个作为项点，共有取法，可得到四面体的情况有从上底面取一个点下底面取三个点有种；从上底面取二个点下底面取二个点有种，其中当上底面和下底面取的四个点在同一平面时共有10种情况不符合，此种情况共有种；从上底面取三个点下底面取一个点有种；一个有种，所以可得到四面体的概率为.故答案为：.14、【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆方程为，所以，所以三角形的周长为.故答案为：15、20【解析】求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长【详解】在大椭圆中，，，则，.因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，，结合，得，所以小椭圆的长轴长为20.故填：20.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，对椭圆相似则离心率相等这一基础知识的考查16、（1）直线过定点P（4，3），直线和圆总有两个不同交点（2）k=1，【解析】(1)把直线方程化为点斜式方程即可；(2)由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.【小问1详解】直线方程可化为，则直线过定点P（4，3），又圆C标准方程为，圆心为，半径为，而，所以点P在圆内，所以不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点.【小问2详解】由圆的性质知，当直线与PC垂直时，弦长最短.，所以k=1时弦长最短.弦长为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，设，结合已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，结合已知二面角的余弦值求出参数t，再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值【小问1详解】由平面，平面，则，又是菱形，则，又，所以平面，平面所以E.【小问2详解】分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，由（1）知：平面的法向量为，令面的法向量为，则，令，可得，因为二面角的余弦值为，则，可得，则，设与平面所成的角为，又，，所以.18、（1）证明见解析（2）【解析】建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而计算出相关向量的坐标；（1）计算向量的数量积，，根据数量积结果为零，证明线线垂直，进而证明线面垂直2；（2）求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，所以，，又因为，则以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，则，，所以，，又，平面PAC，平面PAC，∴平面PAC；【小问2详解】解：由（1）可知平面PAC，可作为平面PAC的法向量，设平面PCD的法向量，因为，所以，即，不妨设，得，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为19、（1）（2）（3）【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率；(2)利用对立事件的概念即可求得结果；(3)结合(1)即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.【小问1详解】设这三个学生分别为A、B、C，A的作业为a，B的作业为b，C的作业为c，则基本事件为：，则基本事件总数为6，设每个学生恰好拿到自己作业为事件E，事件E包含的事件数为l，所以；小问2详解】设每个学生不都拿到自己作业为事件F，因为事件F的对立事件为E，所以；【小问3详解】设每个学生拿的都不是自己作业为事件G，事件G包含的事件数为2，.20、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小问1详解】解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，0，，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，又，设直线与平面的夹角为，则，直线与平面的正弦值为；【小问2详解】解：因为所以点到平面的距离为，点到平面的距离为21、（1）（2）【解析】（1）由抛物线的定义可得结论；（2）设，得PA的两点式方程为，由在抛物线上，化简直线方程为，然后由圆心到切线的距离等于半径得出的关系式，并利用得出点满足的等式，同理设得方程，最后由直线方程的定义可得直线方程【小问1详解】由题意得动点M到点的距离等于到直线的距离，所以曲线C是以为焦点，为准线的抛物线.设，则，于是C的方程为.【小