江苏省苏州市吴江区实验初级中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市吴江实验中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，12．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．0.5 D．0.253．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B． C． D．（x﹣1）2﹣5＝04．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆周角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是寸．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．​【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．27．定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“×”；（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形（2）若倍腰三角形的底角为α，则tanα＝（3）如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形性质应用：如图2，倍腰三角形△ABC是⊙O的内接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半径为1，求倍腰三角形△ABC的面积；拓展应用：如图3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圆，直径BH⊥AF于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．请直接写出CG的长．

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，然后确定二次项系数、一次项系数和常数项．解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．若关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根，则a的值可以是（）A．2 B．5 C．0.5 D．0.25【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，解得：a≤，观察选项只有D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．3．用配方法将2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B． C． D．（x﹣1）2﹣5＝0【分析】先将二次项系数化1，再方程的左边加和减一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可．解：二次项系数化1，得，加一次项系数一半的平方，得，整理，得．故选：C．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；Δ＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．5．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆周角相等 C．三点确定一个圆 D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等【分析】逐一分析每个选项即可．解：同圆或等圆，相等的圆心角所对的弧才相等，故选项A不符合题意；相等的弧所对的圆周角相等，故选项B符合题意；平面内，不共线的三点才能确定一个圆，故选项C不符合题意；三角形的内心到三角形各顶点的距离不一定相等，故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了圆的相关知识点，熟练掌握圆的性质定理是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．6．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF＝90°时F点的位置即可．解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF＝BD＝2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF＝BD＝2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．解：∵∠BOD＝100°，∴∠BAD＝100°÷2＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣50°＝130°故选：D．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED＝EB，则EF的最小值为（）A．3 B．2 C． D．2【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则FM＝GH，由垂径定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三线合一﹣得到DH＝HB＝DB，从而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到结论．解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，FM⊥EH于M，则四边形FGHM是矩形，FM＝GH，∵FG⊥AB，∴AG＝DG＝AD，∵ED＝EB，EH⊥AB∴DH＝HB＝DB，∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2∴FM＝2，∵EF≥FM，∴EF的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查了线段的最小值，熟练掌握直角三角形的中线定理与矩形的判定等是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．若关于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，则m＝0．【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．解：由题意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．10．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是相离．【分析】先求出⊙O的半径，再根据圆心O到直线l的距离为3即可得出结论．解：∵⊙O的直径是4，∴⊙O的半径r＝2，∵圆心O到直线l的距离为3，3＞2，∴直线l与⊙O相离．故答案为：相离．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d＝r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．11．若关于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一个根为3，则2a+b＝﹣3．【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，所以2a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为12．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．解：解方程x2﹣12x+35＝0，得x1＝5，x2＝7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5＝12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝62°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．14．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是26寸．【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．解：1尺＝10寸．根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．设圆O的半径为R，（R﹣1）2+52＝R2，∴R＝13寸，∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．故答案为：26．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），动点B、C从原点O同时出发，分别以每秒1个单位和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，以点A为圆心，OB的长为半径画圆；以BC为一边，在x轴上方作等边△BCD．设运动的时间为t秒，当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时，t的值为4+6．【分析】作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，利用切线的性质得AH＝OB＝t，再利用等边三角形的性质得∠DBC＝60°，则∠OBE＝60°，所以OE＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，从而得到2+t＝2t，然后解关于t的方程即可．解：作AH⊥BD于H，延长DB交y轴于E，如图，∵⊙A与△BCD的边BD所在直线相切，∴AH＝OB＝t，∵△BCD为等边三角形，∴∠DBC＝60°，∴∠OBE＝60°，∴∠OEB＝30°，在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，∵A（0，2），∴OA＝2，∴2+t＝2t，∴t＝4+6．故答案为：4+6．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了等边三角形的性质．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝5，AB＝6，当EF取得最大值时，CE的长度为．【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大．解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．∵AB⊥CH，∴EC＝EH，∵CF＝FD，∴EF＝DH，∴当DH在直径时，EF的值最大，此时∠DCH＝90°，∴CH＝＝＝，∴CE＝，∴EF最大时，EC的长为，故答案为．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可．解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；（3）2y2﹣5y+2＝0，（2y﹣1）（y﹣2）＝0，∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，∴y1＝，y2＝2；（4）2m2﹣7m﹣3＝0，这里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，∴m＝＝，∴m1＝，m2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系；（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．解：（1）如图，连接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半径为6cm长，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A外；（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围是6cm＜r＜10cm．故答案为：6cm＜r＜10cm．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．19．已知关于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一个根是2，求另一个根和m的值．【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，则方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，方程化为x2+2x﹣8＝0，设方程的另一根为x2，则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4，即方程的另一个根为﹣4，m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．21．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1，x2是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到Δ＝（2k﹣1）2，根据k为整数和非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1•x2，则根据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2，由于k为整数，则2﹣＞0，于是得到结论．【解答】（1）证明：根据题意得k≠0，∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，而k为整数，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∵x1+x2＝，x1•x2＝，∵k直角三角形的两直角边，∴+＝，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝，∴（）2﹣2×＝，∴k＝2或k＝﹣（不合题意舍去），∴k＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．22．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．解：（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：亩产量的平均增长率为20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他们的目标能实现．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．【分析】（1）连接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；（2）由角平分线的定义得出∠EBF＝∠DBF，由圆周角定理得出∠ABC＝∠CDB，证得∠CBF＝∠CFB，则可得出结论．解：（1）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）证明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．24．【观察思考】：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．​【解决问题】：（1）点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是12分米；（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？（3）：①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是6分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值．【分析】（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，根据勾股定理求出HQ＝6分米，利用对称性，即可求出滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离；（2）当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否满足勾股定理，来判断PQ与⊙O是否相切；（3）①当点P到l的距离最大时，PQ⊥l，结合PQ的长即可得到答案；②当点P的l的距离最大时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，连接P′P交OH于点D，易求得OD＝2分米，利用锐角三角函数可得cos∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，则∠POP′＝120°，再利用扇形的面积公式计算即可．解：（1）当O、P、Q在同一条直线上时，点Q与点O的距离最大，此时，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），点Q滑动到最左端时，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），同理可得：点Q滑动到最右端时，HQ＝6分米，∴点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是2HQ＝2×6＝12（分米）；故答案为：12；（2）不对，理由如下：当点Q滑动到点H的位置时，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，∵OP2+PQ2＝42+62＝52，OQ2＝82＝64，∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，则OP不与PQ垂直，∴PQ与⊙O不相切；（3）①∵PQ的长度固定，为6分米，∴当PQ⊥l时，点P到到l的距离最大，为6分米；故答案为：6；②由①知，在⊙O上存在点P的l的最大距离为6分米，此时，OP将不再向下转动，设点P在右侧的最远位置为P，在左侧的最远位置为P′，如图，连接P′P交OH于点D，∴OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是POP′，∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，∴四边形PQQ′P′为矩形，∴QQ′∥PP′，∵OH⊥QQ′，∴OD⊥PP′，∴PD＝P′D，∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），在Rt△POD中，cos∠DOP＝＝＝，∴∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°，∴S扇形POP′＝＝（平方分米），即扇形面积的最大值平方分米．【点评】本题主要考查勾股定理、切线的判定、矩形的判定与性质、垂径定理、扇形的面积公式、解直角三角形，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．（1）求证：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度数．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：连接OD，∵GF是切线，OD是半径，∴OD⊥GF，∴∠ODG＝90°，∵∠G＝40°，∴∠GOD＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝65°，∵点A、B、D、E都在⊙O上，∴∠ABD+∠AED＝180°，∴∠AED＝115°；（3）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴＝，∴设⊙O的半径是r，则AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣2，∴＝，∴r＝3，即⊙O的半径是3．【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．26．阅读材料：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式；求解二元一次方程组，把它转化为元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，遇到实际问题，还要考虑是否符合题意．以上解决新问题时，都用到了一个基本数学思想——转化，即把未学过的知识转化为已经学过的知识，从而找到解决问题的办法，也是同学们要掌握的数学素养．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．【分析】（1）将方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，可得：2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，分别求出两个方程的解即可得到原方程的解；（2）将方程两边平方转化成一元二次方程，解这个一元二次方程，检验，即可得出结论；（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，利用勾股定理分别表示出BP，PC的长度，依据题意列出方程，利用转化的思想方法解这个方程，检验并依据题意对答案进行取舍即可．解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3，；故答案为：﹣3；；（2）方程的两边平方，得：2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，经检验，当x＝﹣1时，，因此﹣1不是原方程的解，∴方程的解是：x＝3；（3）设AP＝xm，则PD＝（21﹣x）m，∵BP+CP＝27，，，∴，∴，两边平方，得：．整理，得：，两边平方并整理，得：x2﹣21x+90＝0，解