新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.5正态分布基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.利用实际问题的频率分布直方图,了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解随机变量落在区间[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]上的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

正态曲线函数,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称

,如图所示.

正态曲线过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)正态密度函数f(x)的值可正可负,但不能为0.(

)(2)正态密度函数的图象与x轴之间区域的面积是变化的.(

)××2.下列函数是正态密度函数的是(

)B知识点2

正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为(x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数),则称随机变量X服从正态分布,记为

.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从

.

如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.X~N(μ,σ2)

标准正态分布

过关自诊1.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?提示

参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.2.若X~N(1,),Y=6X,则E(Y)等于(

)

A.1 B. C.6 D.36C解析

由X~N(1,),知E(X)=1.又Y=6X,故E(Y)=6E(X)=6.知识点3

正态曲线的特点1.曲线位于x轴的

,与x轴不相交.

2.曲线是单峰的,它关于直线

对称.

3.曲线在

处达到峰值

.

但不能与x轴相交4.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.5.曲线与x轴之间的面积为

.

上方

x=μx=μ16.当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图1.图1图27.当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ较小时,峰值高,正态曲线“

”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“

”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2.

瘦高矮胖过关自诊(多选题)已知三个正态密度函数

(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.σ1=σ2

B.μ1>μ3C.μ1=μ2

D.σ2<σ3AD解析

根据正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠右,可知μ1<μ2=μ3,故B,C错误;因为σ越小,数据越集中,图象越瘦高,所以σ1=σ2<σ3,故A,D正确.故选AD.知识点4

正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则1.三个特殊区间内取值的概率若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.2.3σ原则在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.名师点睛对于正态分布N(μ,σ2)而言,随机变量X在区间[μ-3σ,μ+3σ]之外取值几乎不可能发生,它在产品检查、质量检验中起着重要的作用.过关自诊设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X≥5).解

∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)≈0.682

7.(2)∵P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),∴P(3≤X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)]=[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)]≈×(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),∴P(X≥5)=[1-P(-3≤X≤5)]≈×(1-0.954

5)=0.022

75.重难探究·能力素养全提升探究点一正态曲线的应用【例1】

一个正态曲线如图所示,试根据该图象写出其正态密度函数的解析式,求出随机变量的均值和方差.规律方法

利用正态曲线的特点求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象可求出μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值

,由此特点结合图象可求出σ.变式训练1若一个正态密度函数是偶函数,且该函数的最大值为,则该正态密度函数的解析式为

.

探究点二正态分布下的概率计算【例2】

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,则P(2<ξ<3)=(

)A.0.2 B.0.24

C.0.28

D.0.32C解析

∵随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),∴正态曲线的对称轴为直线x=3.又P(ξ≤4)=0.78,∴P(3≤ξ≤4)=P(ξ≤4)-=0.78-0.5=0.28,∴P(2≤ξ≤3)=P(3≤ξ≤4)=0.28.故选C.(2)设X~N(5,1),求P(6≤X≤7).解

依题意,μ=5,σ=1,∴P(4≤X≤6)=P(5-1≤X≤5+1)≈0.682

7,P(3≤X≤7)=P(5-2≤X≤5+2)≈0.954

5,∴P(6≤X≤7)=[P(3≤X≤7)-P(4≤X≤6)]≈×(0.954

5-0.682

7)=0.135

9.规律方法

在正态分布下解决求随机变量在某区间上的概率问题,可利用正态曲线的对称性,将随机变量在所求区间上的概率转化为随机变量在已知区间上的概率,或利用3σ原则转化为在特殊区间上的概率.变式训练2(1)若随机变量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,则P(ξ>11)=

.

0.3解析

由P(9≤ξ≤11)=0.4且正态曲线以直线x=μ=10为对称轴知,P(9≤ξ≤11)=2P(10≤ξ≤11)=0.4,则P(10≤ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.(2)若在一次数学考试中,某班学生的分数为X,且X~N(110,202),满分为150分,这个班的学生共有54人,估计这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数(结果保留整数).解∵X~N(110,202),∴μ=110,σ=20.∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.682

7.∴P(X>130)≈×(1-0.682

7)=0.158

65.∴P(X≥90)≈0.682

7+0.158

65=0.841

35.∴及格的人数约为54×0.841

35≈45,130分以上的人数约为54×0.158

65≈9.本节要点归纳1.知识清单:(1)正态曲线及其特点.(2)正态分布的应用,3σ原则.2.方法归纳:转化与化归、数形结合.3.常见误区:概率区间转化不等价.成果验收·课堂达标检测123451.设有一正态分布,它的正态曲线是函数f(x)的图象,且,则这个正态分布的均值与标准差分别是(

)A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10B解析

由正态密度函数的定义可知,这个正态分布的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.123452.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=(

)A.0.16 B.0.32

C.0.68

D.0.84A123453.(多选题)[2023广东广州模拟]已知随机变量X服从正态分布N(0,1),定义函数f(x)为X取值不超过x的概率,即f(x)=P(X≤x).若x>0,则(

)A.f(-x)=1-f(x)B.f(2x)=2f(x)C.f(x)在(0,+∞)内是减函数D.P(|X|≤x)=2f(x)-1AD解析

因为随机变量X服从正态分布N(0,1),所以f(-x)=P(X≤-x)=P(X>x)=1-P(X≤x)=1-f(x),故A正确;f(2x)=P(X≤2x),2f(x)=2P(X≤x),因为x>0,所以f(x)=P(X≤x)>,所以2f(x)>1,所以f(2x)≠2f(x),故B不正确;因为x>0,所以当x增大时,f(x)=P(X≤x)也增大,故C不正确;P(|X|≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2P(X>x)=1-2[1-f(x)]=2f(x)-1,故D正确.故选AD.12345123454.在某项测量中,测量结果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在区间(-∞,1)内取值的概率为0.1,则ξ在区间[2,3]上取值的概率为

.

0.4解析

根据正态曲线的对称性可知,ξ在区间[2,3]上取值的概率P=×(1-2×0.1)