新教材2023-2024学年高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件新人教A版选择性必修第三册

第六章6.1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

分类加法计数原理完成一件事有

不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

名师点睛应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,怎么才算是完成这件事.(2)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).两类

m+n过关自诊1.分类加法计数原理中每类方案的特征是什么?2.从3名女同学和4名男同学中任意选出一人主持一次班会,则不同的选法种数为(

)

A.8 B.7 C.5 D.4提示

任何一类方案中的任何一种方法都可以独立完成这件事.B解析

从3名女同学和4名男同学中任意选出一人主持一次班会,有两类方案:第1类方案是从3名女同学中选出一人,有3种选法;第2类方案是从4名男同学中选出一人,有4种选法.由分类加法计数原理知,不同的选法种数为N=3+4=7.知识点2

分步乘法计数原理完成一件事需要

步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

名师点睛应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)根据题意正确分步,要求各步之间必须关联,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.两个

m×n过关自诊1.分类加法计数原理每一类方案中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别?提示

分类加法计数原理每一类方案中的每种方法可以单独完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.2.[北师大版教材习题]甲有5件不同颜色的上衣,6条不同样式的裤子和4双不同的鞋子,如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法,那么甲着装时,共有多少种不同的搭配方法?解

任选1件上衣、1条裤子和1双鞋子,可以分三个步骤完成:第1步,从5

件不同颜色的上衣中任选1件,有5种选法;第2步,从6条不同样式的裤子中任选1条,有6种选法;第3步,从4双不同的鞋子中任选1双,有4种选法.根据分步乘法计数原理,共有不同的搭配方法的种数为5×6×4=120.知识点3

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:都是有关做一件事的

种数的问题.

2.区别:分类加法计数原理针对的是

问题,其中各种方法

,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是

问题,各个步骤中的方法

,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.

不同方法

“分类”相互独立

“分步”互相依存

过关自诊1.当一个事件既需要分步又需要分类时,分步和分类有何先后顺序吗?提示

当一个事件既需要分步又需要分类时,通常要明确是先分类后分步还是先分步后分类,并且要明确分类的标准和分步的程序问题.2.[人教B版教材例题]某班班委由2位女同学、3位男同学组成,现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动,要求至少要有1位女同学参加,则不同的选法共有多少种?解

按照选择的女同学人数分为两种情况,即2位都是女同学和只有1位女同学.2位都是女同学的选法显然只有1种.只有1位女同学的选法,可以分为两步完成:先从2位女同学中选出1人,有2种选法;再从3位男同学中选出1人,有3种选法.依据分步乘法计数原理,共有不同的选法种数为2×3=6.依据分类加法计数原理,不同的选法种数为6+1=7.重难探究·能力素养全提升探究点一分类加法计数原理【例1】

某校高三共有三个班,各班人数如下表:班级男生人数女生人数总人数高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?解

(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,不同选法的种数为50+60+55=165.(2)从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班男生、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,不同选法的种数为30+30+20=80.规律方法

利用分类加法计数原理解题的一般思路

变式训练1[北师大版教材例题]在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有多少个?解

能够被5整除的数,末位数字是0或5,因此,我们把1,2,3,…,200中能够被5整除的数分成2类来计数:第1类,末位数字是0的数,共有20个;第2类,末位数字是5的数,共有20个.根据分类加法计数原理,在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有N=20+20=40个.探究点二分步乘法计数原理【例2】

一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四个数字的组合号码?(各位置上的数字允许重复)解

4个拨号盘组成四个数字的组合号码可以分四步完成:第1步,第1个拨号盘有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,第2个拨号盘有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,第3个拨号盘有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,第4个拨号盘有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10

000个四个数字的组合号码.变式探究

若各位置上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四个数字的组合号码?

解

4个拨号盘组成四个数字的组合号码可以分四步完成:第1步,第1个拨号盘有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,第2个拨号盘有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,第3个拨号盘有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,第4个拨号盘有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5

040个四个数字不重复的组合号码.规律方法

利用分步乘法计数原理解题的一般思路

变式训练2[苏教版教材例题]3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本,共有多少种不同的选法?解

3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本,可以分三个步骤完成:第1步,第一名同学选1本电子书有5种不同的选法;第2步,第二名同学选1本电子书有5种不同的选法;第3步,第三名同学选1本电子书有5种不同的选法.因此,根据分步乘法计数原理,3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5=125.探究点三两个计数原理的综合应用【例3】

某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法?解

由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种:(1)教英语;(2)教日语.第1类:甲入选.(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2种选法;(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6种选法.故甲入选的不同选法种数为2+6=8.第2类:甲不入选.可分两步:第1步,从只会英语的6人中选1人有6种选法,第2步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理知,有6×2=12种不同的选法.综上,共有不同选法种数为8+12=20.规律方法

1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.变式训练3集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从集合A,B中各取1个元素,作为点P(x,y)的坐标.(1)可以得到多少个不同的点?(2)这些点中,位于第一象限的有几个?

解

(1)从集合A,B中各取1个元素,可以分为两类方案:第1类方案是集合A中元素为x,B中元素为y,共有3×4=12个不同的点;第2类方案是集合A中元素为y,B中元素为x,共有4×3=12个不同的点.根据分类加法计数原理,不同的点的个数为12+12=24.(2)第一象限内的点,x,y均为正数,所以只能取集合A,B中的正数,共有2×2+2×2=8个不同的点.本节要点归纳1.知识清单:(1)分类加法计数原理;(2)分步乘法计数原理.2.方法归纳:分类讨论.3.常见误区:分不清“分类”与“分步”的判断方法,导致计数错误.成果验收·课堂达标检测123451.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨的升旗任务,安排方法的种数为(

)A.8 B.6 C.14 D.48C解析

由分类加法计数原理,完成升旗这一任务的安排方法的种数为8+6=14.123452.准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),给一些书编号(每本书的编号均不相同),则最多能给(

)本书编号.A.8 B.9 C.12 D.18D解析

需分三步完成:第1步,首字符有2种编法;第2步,第二个字符有3种编法;第3步,第三个字符有3种编法.由分步乘法计数原理知,最多能给2×3×3=18本书编号.123453.某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到体育场看比赛,则他进、出体育场的方案种数为(

)A.12 B.7 C.14 D.49D解析

完成进、出体育场这件事,需要分两个步骤完成:第1步,进体育场,共有4+3=7种方法,第2步,出体育场,共有4+3=7种方法.由分步乘法计数