2024届湖北省襄阳东风中学数学高二上期末经典模拟试题含解析

2024届湖北省襄阳东风中学数学高二上期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A. B.C. D.2．设是公差的等差数列，如果，那么（）A. B.C. D.3．如图，在长方体中，，，则直线和夹角余弦值为（）A. B.C. D.4．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（）A.1024 B.256C.2 D.5125．已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为A.15 B.C.6 D.36．已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B.C. D.7．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）A.1 B.C. D.28．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件9．已知a，b为不相等实数，记，则M与N的大小关系为（）A. B.C. D.不确定10．如图，已知最底层正方体的棱长为a，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，依此方法一直继续下去，则所有这些正方体的体积之和将趋近于（）A. B.C. D.11．下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为12．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.14．高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为______15．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为__.16．等比数列的各项均为正数，且，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线过点.（1）求抛物线方程；（2）若直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，且，求证：过定点.18．（12分）在等比数列中，是与的等比中项，与的等差中项为6（1）求的通项公式；（2）设，求数列前项和19．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设，求20．（12分）已知二次函数.（1）若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式（其中）.21．（12分）已知定圆，过的一条动直线与圆相交于、两点，（1）当与定直线垂直时，求出与的交点的坐标，并证明过圆心；（2）当时，求直线的方程22．（10分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，∴点P到直线和直线的距离之和，∴当B，P，F三点共线时，最小，∵，∴，∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A2、D【解析】由已知可得，即可得解.【详解】由已知可得.故选：D.3、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.4、D【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积，，设数列的公比为q，所以，解得，所以，故选：D.5、C【解析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入{an}前6项的和公式中即可求出结果【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6项的和为2a1+5d）=故选C【点睛】本题考查等差数列前n项和求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用6、C【解析】求出导数后，把x=e代入，即可求解.【详解】因为，所以，解得故选：C7、B【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，故选：B.8、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.9、A【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒【详解】因为，又，所以，即故选：A10、D【解析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，然后求和可得答案.【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为，其体积为，上面第二个正方体的棱长为，其体积为，上面第三个正方体的棱长为，其体积为，所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，当，，所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.故选：D.11、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D12、C【解析】根据题先求出阅读过西游记人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-1【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：14、【解析】根据给定条件利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，这位考生至少得1个A对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为.故答案为：15、5【解析】明确程序运行的顺序，写出每次循环的m,n的值，直到判断符合条件时结束，即可得到结果.【详解】第一次循环，m＝3，n＝2；第二次循环，m＝6，n＝3；第三次循环，m＝9，n＝4；第四次循环，m＝12，n＝5，此时m+n＞15，跳出循环，故答案为：5.16、10【解析】由等比数列的性质可得，再利用对数的性质可得结果【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，所以，所以故答案为：10三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）运用代入法直接求解即可；（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【小问1详解】由已知可得：；【小问2详解】的斜率不为设，，∴OA→⋅因为直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，所以，即过定点.【点睛】关键点睛：运用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.18、（1）；（2）.【解析】(1)设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解作答.(2)由(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.【小问1详解】设等比数列公比为，依题意，，即，解得，所以的通项公式【小问2详解】由(1)知，，.19、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差数列的通项公式即可求解；（2）先判断出数列单调性，由时，，时，；然后去掉绝对值，利用等差数列的前项和公式求解即可.【小问1详解】是等差数列，公差；即；【小问2详解】，则由（1）可知前五项为正，第六项开始为负.20、（1）（2）答案见解析【解析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；(2)将原不等式化为，求出参数a分别取值、、时的解集.【小问1详解】不等式即为：，当时，不等式可变形为：，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数a的取值范围是；【小问2详解】不等式，即，等价于，转化为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21、（1），证明见解析；（2）或.【解析】（1）根据题意可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，可求得的值，再将直线、的方程联立，可得出这两条直线的交点的坐标，将圆心的坐标代入直线的方程可证得结论成立；（2）利用勾股定理可求得圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：当直线与定直线垂直时，可设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，则，此时，直线的方程为，联立可得，即点，圆心的坐标为，因为，故直线过圆心.【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，则.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.22、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，