新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值分层作业新人教A版选择性必修第三册

第七章7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值A级必备知识基础练1.[探究点一]若离散型随机变量X的分布列为X01Paa则X的均值E(X)=()A.2 B.2或12 C.12.[探究点一]若随机变量X的分布列如表所示,则E(ξ)的值为()X012345P2x3x7x2x3xxA.118 B.19 C.203.[探究点二]若随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)=()X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.34.[探究点三]今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达数为X,则E(X)的值为()A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.225.[探究点三]甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为13,乙、丙打中的概率均为t4(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是316,设X表示甲、乙两人中中靶的人数,则X的均值是A.14 B.25 C.16.[探究点一]某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的均值是.

7.[探究点二]离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,则a=,b=.

8.[探究点三]为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,得到如下数据:处罚金额x/元05101520会闯红灯的人数y8050402010(1)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚10元时与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是多少?(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验.①求这两种金额之和不低于20元的概率;②若用X表示这两种金额之和,求X的分布列和均值.B级关键能力提升练9.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出海后天气坏,将损失2000元;若不出海也要损失1000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是()A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,则2a+13A.323 B.283 C.1411.(多选题)已知随机变量ξ的分布列是ξ-102Psinsincosα其中α∈0,π2,则下列表述正确的是()A.sinα4+sinαB.cosα=3C.E(ξ)=1D.sinα=312.(多选题)设p为非负实数,随机变量X的分布列为X012P12p1则下列说法正确的是()A.p∈0,12 B.E(X)最大值为32C.p∈0,14 D.E(X)最大值为5213.李老师从课本上抄录一个随机变量X的分布列如表:X123P!?!请小王同学计算X的均值,尽管“?”处完全无法看清,且两个“!”处字迹模糊,但能断定这两个“!”处的数值相同.据此,小王给出了正确答案E(X)=.

14.袋中原有3个白球和2个黑球,每次从中任取2个球,然后放回2个黑球.设第一次取到白球的个数为ξ,则E(ξ)=,第二次取到1个白球1个黑球的概率为.

15.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和均值.16.A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员分别是A1,A2,A3,B队队员分别是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下.对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B121A2和B223A3和B323现按表中对阵方式出场比赛,胜队得1分,负队得0分.设A,B两队最后所得总分分别为X,Y.(1)求X,Y的分布列;(2)求E(X),E(Y).C级学科素养创新练17.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.参考答案7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值1.C由分布列的性质知,a2+a22=1,解得a=1或所以E(X)=0×12+1×12.C由题可得,2x+3x+7x+2x+3x+x=1,则x=118,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=203.A由题中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故选A.4.B当X=0时,P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;当X=1时,P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;当X=2时,P(X=2)=0.9×0.85=0.765.所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.5.D∵316∴t=3(t=-3舍去).记X的所有可能取值为0,1,2,则分布列为X012P171∴E(X)=0×16+1×712+2×6.4760由题意知,一年后获利6000元的概率为0.96,获利-25000元的概率为0.04,故该公司一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760.7.1100易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.①又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②由①②,得a=110,b=08.解(1)由题意可知,处罚10元时行人会闯红灯的概率与处罚20元时行人会闯红灯的概率的差是40200(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A,从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有C52=10种,满足金额之和不低于20元的有6种,故所求概率P(A)=②根据条件,X的可能取值为5,10,15,20,25,30,35,分布列为X5101520253035P1111111故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×15+30×1109.B出海的期望效益为5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).10.D由题意知均值是2,则3a+2b=2,即3a2则2a+13b=3a2+b2a+13b=3+13+a2b+故2a+111.ABC对于A,由随机变量的分布列的性质,得sinα4+sinα对于B,由sinα4+sinα4+cosα=1,得sin联立sinα=2-2cosα,sin2α+co解得cosα=35或cosα=1(舍去对于D,因为α∈0,π2,则sinα=45;对于C,E(ξ)=-sinα4+2cosα=-14×4512.AB由表可得0≤12-p≤12均值E(X)=0×12-p+1×p+2×12=p+1,当且仅当p=12时,E(X)取最大值,最大值为313.2设“!”为x,“?”为y,则2x+y=1.E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.14.652750P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31C52=35,P(ξ=第二次取到1个白球1个黑球的概率为P=11015.解(1)由题意知,参加集训的男生、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C3因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31×C33C6P(X=3)=C3所以X的分布列为X123P131E(X)=1×15+2×35+3×1516.解(1)X的可能取值分别为3,2,1,0,则P(X=3)=23×25×25=875,P(X=2)=23×25×根据题意,X+Y=3,则P(Y=0)=P(X=3)=875P(Y=1)=P(X=2)=2875P(Y=2)=P(X=1)=25P(Y=3)=P(X=0)=325故X的分布列为X0123P32288Y的分布列为Y3210P32288(2)E(X)=3×875+2×2875+1×25+因为X+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=231517.解记E=“甲组研发新产品成功”,F=“乙组研发新产品成功”.由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E(1)记H=“至少有一种新产品研发成功”,则H