安徽省黄山市屯溪第二中学2023年高二上数学期末综合测试模拟试题含解析

安徽省黄山市屯溪第二中学2023年高二上数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A. B.C. D.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里3．等差数列中，,，则当取最大值时，的值为A.6 B.7C.6或7 D.不存在4．下列问题中是古典概型的是A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率5．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.6．已知函数，则的值为（）A. B.C. D.7．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. B.0C.3 D.58．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A.只有2次出现反面 B.至多2次出现正面C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面9．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.310．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（）A.2 B.C.4 D.811．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C.2 D.12．如果，，那么直线不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列满足，，，则公差______14．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）15．已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________16．下列说法中，正确的有_________（填序号）.①“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件；②若：，则：；③“，”的否定是“，”；④若命题“”为假命题，则命题一定是假命题；⑤是直线：和直线：垂直的充要条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当弦的长为时，求直线的方程18．（12分）已知是公差不为零等差数列，，且、、成等比数列（1）求数列的通项公式：（2）设．数列{}的前项和为，求证：19．（12分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.20．（12分）已知集合，.（1）当a=3时，求.（2）若“”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21．（12分）在正方体中，E，F分别是，的中点（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面EDC所成的二面角的正弦值22．（10分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，，，（）（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值；（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可.【详解】选项A：直线的斜率，则直线倾斜角为，是锐角，判断正确；选项B：直线的斜率，则直线倾斜角为钝角，判断错误；选项C：直线的斜率，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误；选项D：直线没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误.故选：A2、B【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故选：B3、C【解析】设等差数列的公差为∵∴∴∴∵∴当取最大值时，的值为或故选C4、D【解析】A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．故选D【考点】古典概型的判断5、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.6、C【解析】利用导数公式及运算法则求得，再求解【详解】因为，所以，所以故选：C7、D【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，求出点A的坐标，代入可求得结果【详解】不等式组表示的可行域，如图所示由，得，作出直线，向上平移过点A时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：D8、D【解析】根据对立事件的定义即可得出结果.【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为0次或1次出现正面，即“有2次或3次出现反面”故选：D9、C【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，化简得，所以.故选：C.10、C【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.【详解】由椭圆的性质可知，椭圆的离心率为，则，即所以椭圆C的长轴长为故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.11、A【解析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，，即，故选A【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来12、A【解析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】根据等差数列性质求得，再根据题意列出相关的方程组，解得答案.【详解】为等差数列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案为：214、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①-②得，，则，故答案为：2415、【解析】由时，，可得，利用累乘法得，从而即可求解.【详解】因为，所以时，，即，化简得，又，所以，检验时也成立，所以，所以，故答案：.16、①【解析】根据椭圆方程的结构特征可判断①；注意到分式不等式分母不等于0可判断②；由全称命题的否定可判断③；根据复合命题的真假可判断④；由直线垂直的充要条件可判断⑤.【详解】①中，当时，方程为，表示圆，若方程表示椭圆，则，解得或，故①正确；②中，，故为：，而，故②不正确；③中，“，”的否定应为“，”，故③不正确；④中，若命题“”为假命题，有可能为真或为假，故④不正确；⑤中，，解得或，故是直线：和直线：垂直的充分不必要条件，故⑤不正确.故答案为：①三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】（1）求得圆心坐标，由点斜式求得直线点的方程.（2）分成直线斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程.【详解】（1）圆心坐标为（1，0），，，整理得（2）圆的半径为3，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得，圆心到直线的距离为，解得，代入整理得当直线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验符合题意∴直线的方程为或18、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小问2详解】证明：，因此，，故原不等式得证.19、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两点坐标表示直线斜率的公式和点差法求出直线的斜率，设的方程为，联立椭圆方程并消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理表示、进而得出弦长，利用点到直线的距离公式求出原点到的距离，结合基本不等式计算即可.【小问1详解】设，由为线段上一点，且，得，，又，则，整理可得，所以轨迹的方程为；【小问2详解】设，，线段的中点为.∵在直线上，∴，∵A，在轨迹上，∴两式相减，可得，∴，即直线的斜率为，依题意，可设直线的方程为，由可得，则解得且由韦达定理，得，∴∵原点到直线的距离为∴，当且仅当，即时等号成立，即时，三角形的面积最大，此时直线的方程为.20、（1）（2）【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根据交集的运算法则求交集；（2）解不等式求出集合、，求出，然后根据充分不必要性列出不等式组求解.【小问1详解】解：由题意得：当时，可解得集合的解集为由可解得或故.【小问2详解】的解集为又又“”是“x∈A”的充分不必要条件解得：，故实数a的取值范围21、（1）见解析；（2）.【解析】(1)连接，，连接，证明CE∥即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面与平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】如图，连接，，连接，∵BC∥且BC＝，∴四边形是平行四边形，∴∥且，∵E是中点，G是中点，∴∥CG且，∴四边形是平行四边形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，设平面的法向量为，则，取；设平面EDC的法向量为，则，取，则；设平面与平面EDC所成的二面角的平面角为α，则，∴22、（1）证明见解析（2）（3）【解析】（1）取得中点，连接，可证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又侧棱底面，可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式即可得出；（3）由题意可与左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得