clifman代数clp,q的非普通自逆元

clifman代数clp,q的非普通自逆元

0非可除clp、q的物理应用clppink模型和q是由p.q维度的最小空间rp组成的。q生成了q维的实结合代，在数学和物理上有许多应用。在对Clp,q理论的研究中,人们注意到可除的Clp,q只有R≌Cl0,0,C≌Cl0,1,H≌Cl0,23种。故此,人们非常关注非可除的Clp,q的研究。文中的主要结果有:1)Clp,q非可除代数的充分必要条件是Clp,q有非平凡幂等元;2)若Clp,q的中心子代数Cen(Clp,q)有非平凡幂等元,则Clp,q有双环结构。1a做好相关转化Clifford代数Clp,q的一组基为:1e1,e2,⋯,ene1e2,e1e3,⋯,e1en,e2e3,⋯,e2en,⋯,en−1en,⋯e1e2⋯en1e1,e2,⋯,ene1e2,e1e3,⋯,e1en,e2e3,⋯,e2en,⋯,en-1en,⋯e1e2⋯en且满足eiej=⎧⎩⎨⎪⎪1,i=j≤p;−1,p＜i=j≤n;−ejei,i≠jeiej={1,i=j≤p;-1,p＜i=j≤n;-ejei,i≠j定义1设A为域F上代数,利用A的加法运算与乘法运算,在A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}A2={(a1,a2)|a1,a2∈A}上定义加法运算与乘法运算为:[HS1*2](a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2),[HS1*2](a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)[ΗS1*2](a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2),[ΗS1*2](a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)则A2构成环,称其为A的双环,记为2A。下面我们把Clp,q中满足u2=1,u≠±1的元素u称为Clp,q的非平凡自逆元。定理1设Clp,q是由p+q维Minkowski空间Rp,q生成的Clifford代数,则有如下等价命题。1)Clp,q有非平凡零因子;2)Clp,q有非平凡幂等元;3)Clp,q有非平凡自逆元;4)Clp,q有子代数同构于双环2R。证明1)⇒3),Clp,q有非平凡零因子,即Clp,q是非可除的,可知p>0或q>2。当p>0时,Clp,q有非平凡自逆元e1,命题成立。当p=0时,必有q>2,Clp,q有3次单位向量e123为其非平凡自逆元。3)⇒2),设u是Clp,q的一个非平凡自逆元,令v=12(1+u)v=12(1+u)则v2=[12(1+u)]2=14(2+2u)=12(1+u)=vv2=[12(1+u)]2=14(2+2u)=12(1+u)=v即v是Clp,q的非平凡幂等元。2)⇒1),设v是Clp,q的非平凡幂等元,则存在非零元1-v,使得v(1-v)=0,即Clp,q有非平凡零因子。3)⇒4),若Clp,q有非平凡的自逆元u,u2=1,即u为Clp,q的一个双曲虚单位,从而Clp,q有子代数{a+bu|a,b∈R}≌H≌2R。4)⇒3),若Clp,q有子代数与双环2R同构,即与双曲数H={a+bj|a,b∈R}同构,从而Clp,q有双曲虚单位j,即为Clp,q的非平凡自逆元。2cenclp,q有非小单元定理2若Clp,q的中心Cen(Clp,q)有非平凡幂等元,则Cen(Clp,q)≌2R,且Clp,q≌{2Clp−1,0,q=02Clp,q−1,q≠0Clp,q≌{2Clp-1,0,q=02Clp,q-1,q≠0即Cen(Clp,q)与Clp,q均有双环结构。证明由于Clp,q的中心子代数只可能同构于R,H与C,而R与C中均无非平凡幂等元。故Cen(Clp,q)有非平凡幂等元时,必有Cen(Clp,q)={a+be12⋯(p+q)|a,b∈R}≌H≌2RCen(Clp,q)={a+be12⋯(p+q)|a,b∈R}≌Η≌2R下证Clp,q≌{2Clp−1,0,q=02Clp,q−1,q≠0Clp,q≌{2Clp-1,0,q=02Clp,q-1,q≠0当q≠0时,有1)任取a∈Clp,q-1,b∈Cen(Clp,q)有ab=ba;2)Clp,q=Clp,q-1Cen(Clp,q);3)dimClp,q=2p+q=2p+q-1·2=dimClp,q-1dimCen(Clp,q)故有Clp,q≌Clp,q−1⊗Cen(Clp,q)≌Clp,q−1⊗2R≌2Clp,q−1Clp,q≌Clp,q-1⊗Cen(Clp,q)≌Clp,q-1⊗2R≌2Clp,q-1同样可证,当q=0时,有Clp,q≌2Clp−1,0Clp,q≌2Clp-1,0推论1若e12…(p+q)为自逆元,且e1