关于具有逆断面的正元群

关于具有逆断面的正元群

正交*-半组的概念由t.e.nordahl和h.e.scheiblih给出。m.异议和t.imaka进行了进一步研究。左后半组和左后半组由p.s.ventisan研究，朱凤林研究了一个完全不同的角度。本文证明了,正则*-半群是纯正半群、存在正则*-半群S,ρ是它的同余时,S/ρ不是正则*-半群.本文未给出的概念、符号见1正则半群所具有的条件设S是正则半群,E(S)为S的幂等元集,V(a)为a的逆元集.定义1.1如果一个半群S上有一个一元运算*:S→S,它满足对∀a、b∈S,(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.则称S是正则*-半群.在正则*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.所以a*是a的一个逆元、S是正则半群.定义1.2设S是正则半群,E(S)为S的幂等元集.E(S)的一个子集F被称为p-组,如果满足:(1)对∀a∈S,存在唯一一个逆元a*使得aa*、a*a属于F.(2)对∀a∈S,a*Fa⊂F,这里*一元运算由(1)确定.(3)F2⊂E(S).定理1.3正则半群S是正则*-半群的充分必要条件为:它至少有一个p-组.定义1.4设S是正则半群,E(S)为S的幂等元集.如果e、f∈E(S)时,有ef∈E(S).则称S是纯正半群.(OrthodoxSemigroups)定义1.5正则半群S称为右逆半群(Rightunipotentsemigroups),如果E(S)是左正则带(右正则带)即∀e、f∈E(S)满足efe=ef(efe=fe).定理1.6S是正则半群,那么下列几条等价(1)S是右逆半群.(2)每一个R-类仅有一个幂等元.(3)对∀e∈E(S)∀a∈S和a′∈V(a)有aea′=ae.(4)对∀a∈Sa′、a′′∈V(a)aa′=aa′′.若ρ是正则半群S的一个同余,我们知道当S是纯正半群时,S/ρ也是纯正半群.当S是右逆半群时,S/ρ也是右逆半群.当S是逆半群时,S/ρ也是逆半群(InverseSemigroups).并且许多结论在S/ρ上成立.那么当S是正则*-半群时,S/ρ是不是正则*-半群.我们得到否定的结论.2是材料型的[2]定理2.1若S是正则*-半群,则S是纯正半群.证明设S是正则*-半群,E(S)为S的幂等元集,e、f∈E(S).那么e*e*=(ee)*=e*.幂等元在*运算下的象是幂等元.ef=ee*eff*f=ee*e*eff*f*f=ee*(ee*)*ff*(ff*)*因为S是正则*-半群由定理1.3,令F是S的一个p-组.再由定义1.2的(1)ee*(ee*)*∈F,ff*(ff*)*∈F.根据定义1.2的(3)F2⊂E(S).有ee*(ee*)*ff*(ff*)*∈E(S).S是纯正半群.定理2.2存在正则*-半群S,S不是右逆半群.当ρ是它的同余时,S/ρ不是正则*-半群.证明设S={1,a,b,c,d}它的乘法由下表1给出.容易验证S是一个正则半群,E(S)=SV(1)={1}V(a)={a,b,c,d}V(b)={a,b,c,d}V(c)={c,a,d,b}V(d)={a,b,c,d}令F={1,a,d}取1*=1,a*=a,b*=c,c*=b,d*=d.因为注意到1只有一个逆元,ab=b,ad=b,ca=c,bb=b,bd=b,cc=c,dc=c,都不属于F.F满足定义1.2的条件(1).1F1=FaFa=FcFb={d}bFc={a}dFd={d}满足定义1.2的条件(2).E(S)=S条件(3)显然.F是一个p-组,再由定理1.3可知S是一个正则*-半群.但是,aba=aab=b由定义1.5,S不是右逆半群.令ρ是由以下分类确定的等价关系.{1}{a,c}{b,d}aρ=cρ.对于任意x∈Sxaρ=xcρ=aρbρ=dρ对于任意x∈Sxbρ=xdρ=bρ.对于任意y∈{1,a,c},ayρ=cyρ=aρ.对于任意y∈{b,d}ayρ=cyρ=bρ.对于任意y∈{1,b,d},byρ=dyρ=bρ.对于任意y∈{a,c},byρ=dyρ=aρ.所以ρ是S的一个同余.S/ρ={1ρ,aρ,bρ}它的乘法由表2给出.它自身不是一个p-组.因为aρ,bρ都是aρ的逆元不满足定义1.2的条件(1).注意到1ρ只有一个逆元1ρ,而且{1ρ,bρ}和{1ρ,aρ}都不满足定义1.2的条件(1).我们发现S/ρ没有一个