福建省德化一中、永安一中、漳平一中2023年高二数学第一学期期末预测试题含解析

福建省德化一中、永安一中、漳平一中2023年高二数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足，，则的最小值为（）A. B.C. D.2．焦点为的抛物线标准方程是（）A. B.C. D.3．已知数列中，，则（）A. B.C. D.4．若抛物线的焦点为，则其标准方程为（）A. B.C. D.5．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点，且，则（）A.4 B.2C. D.7．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）A. B.C.2 D.8．若直线与平行，则实数m等于（）A.1 B.C.4 D.09．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（）A.4 B.9C. D.10．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.11．下列函数求导错误的是（）A.B.C.D.12．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.117二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为___________.14．圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，则实数的值是__________.15．已知数列的前4项依次为，，，，则的一个通项公式为________16．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点.若，则双曲线的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.18．（12分）已知：方程表示焦点在轴上的椭圆，：方程表示焦点在轴上的双曲线，其中.（1）若“”为真命题，求的取值范围：（2）若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围.19．（12分）“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及横梁的长；（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.20．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为（1）求圆的方程；（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程21．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G的方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.22．（10分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.【详解】因为，所以，，，，式相加可得，所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.故选：C2、D【解析】设抛物线的方程为，根据题意，得到，即可求解.【详解】由题意，设抛物线的方程为，因为抛物线的焦点为，可得，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.3、D【解析】由数列的递推公式依次去求，直到求出即可.【详解】由，可得，，，故选：D.4、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程，再利用焦点为建立，解方程即可.【详解】由题意，设抛物线标准方程为，所以，解得，所以抛物线标准方程为.故选：D5、B【解析】由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围【详解】设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，，∴，易知数列是递增数列，且，∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故选：B【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立6、B【解析】依题意可得，设，根据可得，，根据为抛物线上一点，可得.【详解】依题意可得，设，由得，所以，，所以，，因为为抛物线上一点，所以，解得.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量加法的坐标运算，考查了求抛物线方程，属于基础题.7、A【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；故选：A8、B【解析】两直线平行的充要条件【详解】由于，则，.故选：B9、D【解析】根据题意求得抛物线的方程为和焦点为，由，得到为的中点，得到，代入抛物线方程，求得，进而求得的面积.【详解】由直线是抛物线的准线，可得，即，所以抛物线的方程为，其焦点为，因为，可得可得三点共线，且为的中点，又因为，，所以，将点代入抛物线，可得，所以的面积为.故选：D.10、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11、C【解析】每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，不正确；对于D，，正确.故选：C12、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解.【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.则.设平面的法向量为，由令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：14、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1，确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上，离心率为，所以曲线为椭圆，且，所以，解得，故答案为：15、（答案不唯一）【解析】观察数列前几项，找出规律即可写出通项公式.【详解】根据数列前几项，先不考虑正负，可知，再由奇数项为负，偶数项为正，可得到一个通项公式，故答案为：（不唯一）16、【解析】按题意求得，两点坐标，以代数式表达出条件，即可得到关于的关系式，进而解得双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为,其渐近线为，垂线方程为，则，，，由，得，即即，则，离心率故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据等差数列的性质及题干条件，可求得，代入公式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消求和法，即可求得，即可得证.【详解】解：（1）设数列的公差为，在中，令，得，即，故①.由得，所以②.由①②解得，.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）可得，所以，故，所以.因为，所以.【点睛】数列求和的常见方法：（1）倒序相加法：如果一个数列的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.18、（1）或（2）【解析】（1）先假设命题为真命题，求出的取值范围，为真命题，取补集即可（2）假设命题为真命题，求出的取值范围，根据题意，则命题假设和命题一真一假，分类讨论求的取值范围【小问1详解】解：若为真命题，则，解得，若“”为真命题，则为假命题，或；【小问2详解】若为真命题，则解得，若“”为假命题，则“”为真命题，则与一真一假，①若真假，则解得，②若真假，则解得，综上所述，，即的取值范围为.19、（1），（2），【解析】（1）根据梯形的几何性质，即可求解；（2）表示出M,N的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高.【小问1详解】由题意，知,因为ABFM是等腰梯形，由对称性知:,所以，【小问2详解】由（1）知,所以点M的横坐标为-18，则N的横坐标为-（18-5）=-13.设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，由图形，知设抛物线的方程为，，两式相减，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故抛物线的方程为x2=-100y.因此，当x=-18时，所以桥梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）或（2）或【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，因为圆心到直线的距离为，解得，所以圆心的坐标为或，半径为，因此，圆的标准方程为或.【小问2详解】解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.因为，所以圆心到直线的距离.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得，所以，直线的方程为或，即或.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线