2024届上海市宝山区高境一中数学高二上期末联考模拟试题含解析

2024届上海市宝山区高境一中数学高二上期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）A. B.C. D.2．已知函数满足对于恒成立，设则下列不等关系正确是（）A. B.C. D.3．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则（）A. B.C. D.4．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（）A. B.C. D.5．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（）A. B.C. D.6．如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.7．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入（）A.？ B.？C.？ D.？8．函数在区间上的最小值是（）A. B.C. D.9．已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（）A1 B.C.1或 D.或10．已知椭圆与圆在第二象限的交点是点，是椭圆的左焦点，为坐标原点，到直线的距离是，则椭圆的离心率是（）A. B.C. D.11．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：甲9816151514乙7813151722分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A.， B.，C.， D.，12．设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知、均为正实数，且，则的最小值为___________.14．设实数、满足约束条件，则的最小值为___________.15．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.16．某市开展“爱我内蒙，爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如茎叶图所示，记分员算得平均分为91，复核员在复核时，发现一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆O：与圆C：（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答若______，判断这两个圆的位置关系；（2）若，求直线被圆C截得的弦长注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分18．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面积.19．（12分）已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值.20．（12分）已知等差数列中，，，等比数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）记，求的最小值21．（12分）已知，，其中（1）已知，若为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围22．（10分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积.【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，，，在图②中作于，则.所以.故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.2、A【解析】由条件可得函数为上的增函数，构造函数，利用函数单调性比较的大小，再根据函数的单调性确定各选项的对错.【详解】设，则，∵，∴，∴函数在上为增函数，∵，∴，故，所以，C错，令()，则，当时，，当时，∴函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D错，，故，所以，A对，，故，所以，B错，故选：A.3、B【解析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.4、A【解析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.【详解】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于是得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A5、C【解析】利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.【详解】由题设，，则，又，所以切线为，当时，当时，又，所以与坐标轴围成的三角形面积为，则，当时，当时，所以在上递减，在上递增，即.故选：C6、D【解析】以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则令，得.因为，所以，故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.7、C【解析】本题为计算前项和，模拟程序，实际计算求和即可得到的值.【详解】由题意可知：输出的的值为数列的前项和.易知，则，令，解得.即前7项的和.为故判断框中应填入“？”.故选：C.8、B【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值【详解】解：因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，，，得函数在区间上的最小值是故选：B9、C【解析】根据条件列关于首项与公比的方程组，即可解得公比，注意等比数列求和公式使用条件.【详解】等比数列中，，前三项之和，若，，，符合题意；若，则，解得，即公比的值为1或，故选：C【点睛】本题考查等比数列求和公式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.10、B【解析】连接，得到，作，求得，利用椭圆的定义，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解椭圆的离心率.【详解】如图所示，连接，因为圆，可得，过点作，可得，且，由椭圆的定义，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，两侧同除，可得，解得或，又因为，所以椭圆的离心率为.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，直角三角形的勾股定理，以及椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，结合直角三角形的勾股定理，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11、B【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.【详解】依题意，，，，，所以，.故选：B12、A【解析】依据题意作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即可求解.【详解】如图所示：因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.【详解】因、均为正实数，由基本不等式可得，整理可得，，，则，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.14、2【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：将初始直线平移至点时，可取最小值，由可得，故，故答案为：2.15、【解析】将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出【详解】解：为抛物线上一点，即有，，抛物线的方程为，焦点为，即有.故答案为：5.16、1【解析】由平均数列出方程，求出x的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）选①:外离；选②：相切;（2）【解析】(1)不论选①还是选②，都要首先算出两圆的圆心距，然后和两圆的半径之和或差进行比较即可；(2)根据点到直线的距离公式，先计算圆心到直线的距离，然后利用圆心距、半径、弦长的一半之间的关系求解.【小问1详解】选①圆O的圆心为，半径为l；圆C的圆心为，半径为因为两圆的圆心距为，且两圆的半径之和为，所以两圆外离选②圆O的圆心为，半径为1．圆C的圆心为，半径为2因为两圆的圆心距为．且两圆的半径之和为，所以两圆外切【小问2详解】因为点C到直线的距离，所以直线被圆C截得的弦长为18、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面积.【小问1详解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小问2详解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.19、（1）（2）【解析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.【小问1详解】（1）由题可设椭圆的方程为，由椭圆经过点，可得，解得或（舍）.所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知，设点，则，且，，，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.20、（1）（2）0【解析】（1）利用等差数列通项公式基本量的计算可求得，进而利用等比数列的基本量的计算即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可知，则，观察分析即可解【小问1详解】设等差数列的公差为d，所以由，，得所以，从而，，所以，，q＝3，所以【小问2详解】由（1）可知，所以，当n＝1时，为正值﹐所以；当n＝2时，为负值﹐所以；当时，为正值﹐所以又综上：当n＝3时，有最小值021、（1）（2）【解析】（1）求出两个命题为真命题时的解集然后利用为真，取并求得的取值范围；（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，列出不等式组求解即可.【详解】（1）由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，所以.（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由（1），，所以，即：【点睛】该题考查的是有关逻辑的问题，涉及到的知识点有命题的真假判断与应用，充分不必要