2024届上海市崇明区数学高二上期末经典试题含解析

2024届上海市崇明区数学高二上期末经典试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.2．已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（）A. B.C.1 D.23．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()A. B.C. D.4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.985．若向量，，则（）A. B.C. D.6．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零7．已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=18．直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.都有可能9．已知对任意实数，有，且时，则时A. B.C. D.10．若公差不为0的等差数列的前n项和是，，且，，为等比数列，则使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.1211．函数在上的最小值为（）A. B.C.-1 D.12．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______.14．已知，在直线上存在点P，使，则m的最大值是_______.15．已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.16．若两条直线与互相垂直，则a的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中a为正数（1）讨论单调性；（2）求证：18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和19．（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了若干户居民去年一年的月均用电量（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计月均用电量的众数；（2）求a的值；（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，月均用电量不高于平均数的为第一档，高于平均数的为第二档，已知某户居民月均用电量为，请问该户居民应该按那一档电价收费，说明理由.20．（12分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.21．（12分）已知等差数列满足，（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值22．（10分）已知.（1）求在上的单调递增区间；（2）已知锐角内角，，的对边长分别是，，，若，.求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.2、B【解析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为.【详解】由点在抛物线上，易知，，故焦点到其准线的距离为.故选：B.3、C【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围【详解】，，当且仅当时取等号，故故选：C4、D【解析】利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【详解】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D5、D【解析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断【详解】由已知，，，与不垂直，若，则，，但是，，因此与不共线故选：D6、B【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B7、C【解析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意，所以椭圆方程为.故选：C8、A【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.【详解】解：圆的圆心，，因为圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系是相交，故选：A.9、B【解析】，所以是奇函数，关于原点对称，是偶函数，关于y轴对称，时则都是增函数，由对称性可知时递增，递减，所以考点：函数奇偶性单调性10、C【解析】设等差数列的公差为d，根据，且，，为等比数列，求得首项和公差，再利用前n项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为d，因为，且，，为等比数列，所以，解得或（舍去），则，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故选：C11、D【解析】求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故.故选：D.12、D【解析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解【详解】解：由题意，即在区间上有两个异号零点，构造函数，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，且，所以，即，所以的范围故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据直角三角形的性质求得，由此求得，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接，由于是圆的切线，所以.在中，，所以，所以，所以直线的斜率.，根据椭圆的定义可知.故答案为：；【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.14、11【解析】设P点坐标，根据条件知，由向量的坐标运算可得P点位于圆上，再根据P存在于直线上，可知直线和圆有交点，因此列出相应的不等式，求得m范围，可得m的最大值.【详解】设P（x,y）,则，由题意可知,所以，即，即满足条件的点P在圆上，又根据题意P点存在于直线上，则直线与圆有交点，故有圆心(1,0)到直线的距离小于等于圆的半径，即，解得，则m的最大值为11，故答案为：11.15、##【解析】根据线面平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：16、4【解析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于-1，据此即可求解.【详解】由题可知，.故答案为：4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求解函数的导函数，并且求的两个根，然后分类讨论，和三种情况下对应的单调性；（2）令，通过二次求导法，判断函数的单调性与最小值，设的零点为，求出取值范围，最后将转化为的对勾函数并求解最小值，即可证明出不等式.【小问1详解】函数的定义域为∵令得∵，∴，得或①当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增②当，即时，时，或；时，.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增③当，即时，∴在上单调递增综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增【小问2详解】令，（）∴，令∴，∴在上单调递增又∵，，∴使得，即（*）∴当时，，∴，∴单调递减∴当时，，∴，∴单调递增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函数单调递减∴，∴∴【点睛】求解本题的关键是利用二次求导法，通过虚设零点，求解原函数的单调性与最小值，并通过最小值的取值范围证明不等式.18、（1）（2）【解析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解【小问1详解】解：设等差数列公差为d，首项为a1，由题意，有，解得，所以；【小问2详解】解：，所以19、（1）175（2）0.004（3）该居民该户居民应该按第二档电价收费，理由见解析【解析】（1）在区间对应的小矩形最高，由此能求出众数；（2）利用各个区间的频率之和为1，即可求出值；（3）求出月均用电量的平均数的估计值即可判断.【小问1详解】由题知，月均用电量在区间内的居民最多，可以将这个区间的中点175作为众数的估计值，所以众数的估计值为175.【小问2详解】由题知：，解得则的值为0.004.【小问3详解】平均数的估计值为：，则月均用电量的平均数的估计值为，又∵∴该居民该户居民应该按第二档电价收费.20、（1）（2）过定点，【解析】（1）根据椭圆上的点及离心率求出a,b即可；（2）设点，设直线的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，利用条件化简，结合椭圆方程，求出即可得解.【小问1详解】由，有，又，所以，椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设点，设直线的方程为.如图，联立，消有：，韦达定理有：由，所以，又，所以又，所以.又所以有，把代入有：，解得或2，又直线不过右端点，所以，则，所以直线过定点.21、（1）（2）10【解析】(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式