2024届石家庄市第四十中学高二上数学期末预测试题含解析

2024届石家庄市第四十中学高二上数学期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A. B.或C. D.2．已知集合，，则（）A. B.C. D.3．已知函数，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线C.的一个零点为 D.在区间的最小值为14．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或155．直线的倾斜角是（）A. B.C. D.6．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A.1 B.3C.9 D.817．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.8．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（）A. B.2C. D.39．在各项都为正数的数列中，首项为数列的前项和，且，则（）A. B.C. D.10．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）A.3 B.2C.1 D.011．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.1112．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断进行构造，又可以得到新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到数列1，，，，…，，2；记则______，设数列的前n项和为，则______14．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1=2，a2=3，则a2022的值为_________.15．已知数列的前项和为，则__________.16．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，，，（1）求证：；（2）求直线PB与平面MQB所成角的正弦值18．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的解析式及单调递减区间；（2）若函数无零点，求的取值范围19．（12分）如图，正方体的棱长为4，E，F分别是上的点，且.（1）求与平面所成角的正切值；（2）求证：.20．（12分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.（1）求该抛物线的标准方程和的值；（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.21．（12分）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直线l的一般式方程；（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程22．（10分）已知数列满足（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】“”是“”的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出的取值范围.【详解】∵“”是“”的充分不必要条件∴或∴故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2、B【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.【详解】∵，，∴故选：B3、D【解析】根据余弦函数的图象与性质判断其周期、对称轴、零点、最值即可.【详解】函数，周期为，故A错误；函数图像的对称轴为，，，不是对称轴，故B错误；函数的零点为，，，所以不是零点，故C错误；时，，所以，即，所以，故D正确.故选：D4、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.5、A【解析】将直线方程化为斜截式，由此确定斜率；根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，由得：，则斜率，.故选：A.6、A【解析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以值为1.故选：A7、D【解析】先求出的坐标，再求出其模【详解】因为，，所以，故，故选：D.8、B【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.【详解】，第一次执行，，第二次执行，，第三次执行，，所以输出.故选：B9、C【解析】当时，，故可以得到，因为，进而得到，所以是等比数列，进而求出【详解】由，得，得，又数列各项均为正数，且，∴，∴，即∴数列是首项，公比的等比数列，其前项和，得，故选：C.10、B【解析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.【详解】由三角形的面积公式知，即由正弦定理知所以，即，即，即利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得又，则，，且由正弦函数的性质可知，满足的有2个，即满足条件的的个数为2.故选：B11、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】∵，∴.故选：B.12、A【解析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.【详解】设，正八面体的棱长为，根据正八面体的性质可知：，所以是外接球的球心，且半径，所以外接球的体积为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.81②.【解析】根据数列的构造写出前面几次得到的新数列，寻找规律，构造等比数列，求出通项公式，再进行求和.【详解】第1次得到数列1，3，2，此时；第2次得到数列1，4，3，5，2，此时；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时，故81，且故，又，所以数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，故，所以故答案为：81，14、【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，所以故答案为：15、【解析】根据题意求得，得到，利用等差数列的求和公式，求得，结合裂项法求和法，即可求解.【详解】由，可得，即，因为，所以，又因为，所以，可得，所以，所以.故答案为：.16、15【解析】由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案.【详解】由题意可知,，所以，故答案为：15三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形可得，再由面面垂直的性质得出线面垂直，即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.【小问1详解】因为Q为AD的中点，，所以，又因为平面底面ABCD，平面底面，平面PAD，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以【小问2详解】由题可知QA、QB、QP两两互相垂直，以QA为x轴、QB为y轴、QP为z轴建立空间坐标系，如图，根据题意，则，，，，，由M是棱PC的中点可知，，设平面MQB的法向量为，，，则，即令，则，，故平面MQB的一个法向量为，所以，所以直线PB与平面MQB所成角的正弦值为18、（1）单调减区间为和；（2）的取值范围为：或【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.【详解】(1)，又由题意有：，故.此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.(2)，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增.又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.综上可得：的取值范围为：或.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等19、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方体，又是空间垂直问题，∴易采用向量法，∴建立如图所示的空间直角坐标系，欲证，只须证，再用向量数量积公式求解即可.【小问1详解】在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，又，，，∴；【小问2详解】如图，以为坐标原点，直线、、分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则∴，，∴，∴.20、（1），（2）证明见解析【解析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分直线的斜率不存在时，检验即可；当直线的斜率存在时，设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用向量的数量积运算求解.【小问1详解】解：∵抛物线焦点在轴上，且过点，∴设抛物线方程为，由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，即点到准线的距离等于5，则，，∴抛物线方程为，又点在抛物线上，，，∴所求抛物线方程为，.【小问2详解】方法一：由于直线过点，可设直线方程为：，由得，设，，则，，所以，即为定值；方法二：由于直线过点，①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，则由可得，，，所以；②当直线的斜率存在时可设直线方程为：，由得，设，，则，.所以，即为定值.综上，为定值.21、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直关系得过直线l斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程【小问1详解】因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直