2024届四川省眉山市东坡区多悦高级中学校数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2024届四川省眉山市东坡区多悦高级中学校数学高二上期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则2．抛物线准线方程为()A. B.C. D.3．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B.C. D.4．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.5．已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，记，，，则（）A. B.C. D.6．函数图象如图所示,则的解析式可以为A. B.C. D.7．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠水平放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（）A. B.C. D.8．已知下列四个命题，其中正确的是（）A. B.C. D.9．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（）A. B.C. D.10．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.11．与的等差中项是（）A. B.C. D.12．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为，，则的面积________，的值为________.14．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.15．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是___________.16．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）18．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形BEDF是菱形，平面平面.（1）证明：；（2）若，且平面平面BEDF，求平面ADE与平面CDF所成的二面角的正弦值.19．（12分）已知命题p：集合为空集，命题q：不等式恒成立（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围20．（12分）已知函数是定义在实数集上的奇函数，且当时，（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求的取值范围21．（12分）已知抛物线经过点.（Ⅰ）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（Ⅱ）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值.22．（10分）若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；（2）如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D2、D【解析】由抛物线的准线方程即可求解【详解】由抛物线方程得：．所以，抛物线的准线方程为故选D【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程，属于基础题3、A【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.【详解】如图，连接、，∵M是的中点，∴是的中位线，∴，且，根据双曲线的定义，得，∴，∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得双曲线的渐近线方程为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.4、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.5、A【解析】由题，可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出的大小关系.【详解】设，由题，得，即，所以函数在上单调递减，因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此，，，即.故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.6、A【解析】利用排除法：对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；对于C,当时，，当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；对于D,的定义域为，不符合题意；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项7、A【解析】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和【详解】根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为，故选：A8、B【解析】根据基本初等函数的求导公式和求导法则即可求解判断.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.9、B【解析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为故选：B10、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B11、A【解析】代入等差中项公式即可解决.【详解】与的等差中项是故选：A12、B【解析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.6②.3【解析】由题意得，由内切圆面积为可得其半径，根据焦点三角形面积公式可得第一空答案，结合面积公式和等面积法建立等式化简即可.【详解】解：由得由内切圆面积为可得其半径，设其内切圆圆心为则又所以.故答案为：6；3【点睛】椭圆中常用面积公式：（1）(表示边上的高)；（2）；（3）(为三角形内切圆半径)；（4）.14、①.x轴或直线②.【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，又，解得，此时曲线与都关于直线对称，曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.故答案为：x轴或直线；15、.【解析】根据条件求出c，进而根据求出a，最后写出渐近线方程.【详解】因为双曲线两焦点之间的距离为4，所以，解得，所以，，双曲线的渐近线方程是.故答案为：.16、或10.【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根据抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可得到轨迹方程；（2）设直线方程为，，，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，则，代入韦达定理，即可求出面积最小值；【小问1详解】解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为【小问2详解】解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，连接，要证明，只需证明平面即可；（2）以D为原点建系，分别求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可得到答案.【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接四边形为正方形，，且为的中点又四边形为菱形，平面平面又平面OAE.（2）解：如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，则由（1）得又平面平面，平面平面，平面ABCD，故，同理，设为平面的法向量，为平面的法向量，则故可取，同理故可取，所以设平面与平面所成的二面角为，则，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为19、（1）（2）【解析】（1）根据判别式小于0可得；（2）根据复合命题的真假可知，p和q有且只有一个真命题，然后根据相应范围通过集合运算可得.【小问1详解】因为集合为空集，所以无实数根，即，解得，所以p为真命题时，实数a取值范围为.【小问2详解】由解得：，即命题q为真时，实数a的取值范围为，易知p为假时，a的取值范围为，q为假时，a的取值范围为.因为为真命题，为假命题，则p和q有且只有一个真命题，当p为假q为真时，实数a的取值范围为；当p为真q为假时，实数a的取值范围为.综上，实数a的取值范围为20、（1），（2）实数的取值范围是【解析】（1）根据函数奇偶性求解析式；（2）将恒成立转化为令，恒成立，讨论二次函数系数，结合根的分布.【详解】解：（1）因为函数是定义在实数集上的奇函数，所以，当时，则所以当时所以（2）因为时，在上恒成立等价于即在上恒成立令，则①当时，不恒成立，故舍去②当时必有，此时对称轴若即或时，恒成立因为，所以若即时，要使恒成立则有与矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.21、（1），；（2）.【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；（2）设出点坐标，根据切线长相等以及切线垂直于半径将四边形的面积表示为，然后根据三角形面积公式将其表示为，根据点到点的距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出四边形面积的最小值.【详解】（1）因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为：，焦点坐标为，即；（2）设，因为为圆的切线，所以，且，所以，又因为，所以，当时，四边形的面积有最小值且最小值为.【点睛】关键点点睛：解答本题的