2024届浙江省各地高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2024届浙江省各地高二数学第一学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四面体中，点G是的重心，设，，，则（）A. B.C. D.2．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）A. B.C. D.3．已知等差数列，且，则（）A.3 B.5C.7 D.94．是数列，，，－17，中的第几项()A第项 B.第项C.第项 D.第项5．抛物线的准线方程为（）A B.C. D.6．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）A. B.C. D.7．下列求导错误的是（）A. B.C. D.8．已知，，若，则实数的值为（）A. B.C. D.9．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁10．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（）A. B.C. D.11．下列四个命题中为真命题的是（）A.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.函数的最小值是4D.与的图象关于直线y＝x对称12．中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列中，，则=_________.14．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）15．已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的方程;（2）过原点的直线与圆交于M，N两点，若的面积为，求直线的方程.18．（12分）已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列的前项和.19．（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最值.20．（12分）已知数列{}满足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求数列{}的通项公式；（2）若＝·，求数列的前n项和21．（12分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）22．（10分）奋发学习小组共有3名学生，在某次探究活动中，他们每人上交了1份作业，现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.（1）每个学生恰好取到自己作业的概率是多少？（2）每个学生不都取到自己作业的概率是多少？（3）每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案.【详解】设是中点，.故选：B2、A【解析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】由于M是的中点，所以故选：A3、B【解析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】由于数列是等差数列，所以.故选：B4、C【解析】利用等差数列的通项公式即可求解【详解】设数列，，，，是首项为，公差d＝－4的等差数列{}，，令，得故选：C5、D【解析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，故选：D.6、D【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，，因此以为直径的圆的标准方程为：，而圆：，得：，即为直线的方程，由，所以直线经过定点，故选：D【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.7、B【解析】根据导数运算求得正确答案.【详解】、、运算正确.，B选项错误.故选：B8、A【解析】由，得，从而可得答案.【详解】解：因为，所以，即，解得.故选：A.9、D【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D10、B【解析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B11、D【解析】根据推出关系和集合的包含关系判断A，根据全称命题的否定形式可判断B，根据对钩函数性质即三角函数的性质可判断C，根据反函数的图像性质可判断D.【详解】解：对于选项A：是的真子集，所以命题p是q的充分不必要条件，故A错误；对于选项B：命题“”的否定是“”，故B错误；对于选项C：函数，当时，，函数单调递减，当时取最小值，故C错误；对于选项D：与互为反函数，故图象关于直线y＝x对称，故D正确.12、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】由等差数列的通项公式求出公差，进而求出.【详解】设该等差数列的公差为，则，所以.故答案为：4.14、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①-②得，，则，故答案为：2415、【解析】由题得，解方程组即得解.【详解】解：由题得，因为是直线的一个方向向量，所以，所以，所以.故答案为：16、##0.5【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.【详解】设球切于，切于E，，球半径为2，所以，，∴，又中，，，故椭圆长轴长为,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，，椭圆的离心率为.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）直线的方程为或或【解析】（1）由弦的中垂线与直线的交点为圆心即可求解；（2）由，可得或，进而有或，显然直线斜率存在，设直线，由点到直线的距离公式求出的值即可得答案.【小问1详解】解：设弦的中点为，则有，因为，所以直线，所以直线的中垂线为，则圆心在直线上，且在直线上，联立方程解得圆心，则圆的半径为，所以圆方程为；【小问2详解】解：设圆心到直线的距离为，因为，所以或，所以或，显然直线斜率存在，所以设直线，则或，解得或或，故直线的方程为或或.18、（1）（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得，即可证得原不等式成立.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，解得，因此，.【小问2详解】证明：，因此，.故原不等式得证.19、（1）（2）最小值为0，最大值为4【解析】（1）利用导数求得切线方程.（2）结合导数求得在区间上的最值.【小问1详解】，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】，所以在区间递增；在区间递减，，所以在区间上的最小值为，最大值为.20、（1）；（2）【解析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，根据已知可求得其公差，从而可得其通项公式；（2）分析可知应用错位相减法求数列的和【详解】（1）由知，数列是等差数列，设其公差为，则，所以，，即数列的通项公式为（2），，，两式相减得：，整理得：，所以21、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；【小问1详解】根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；【小问2详解】圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，则要求圆的方程为x2+y2＝25；22、（1）（2）（3）【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件，进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率；(2)