贵州省贵阳市重点中学2024届高三上学期10月高考适应性月考（二）数学试题（扫描版含解析）

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{#{ABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#}数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

题号12345678

答案ACDBCAAB

【解析】

1．因为A{x|x25x40}{x|x4或x1}，B{x|x30}{x|x3}，所以

AB{x|x1}，故选A．

2．因为x01251111，所以x0，所以yxx

22x122x1

3≥2x1

2x

22

31111，当且仅当x，即x时等号成立，所以函数的最小值为1，故选C．

2x12

2

3．(2ax)(1x)5的展开式中x2的系数为25，即2C2aC15525，解得a1．设(2x)(1x)

5

aaxax2ax3ax4ax5012345ax

6

6，令x1，得32

5a0a1a2a3a4a5

a6，令x1，得0a0a1a2a3a4a5a6，两式相加得，a0a2a4a63

2448，故选D．

43x113x1．因为f(x)f(x)6，y3，所以函数yf(x)与y的图象都关于点

xxx

m

(0，3)对称，所以(xiyi)3m，故选B．

i1

5．令g(x)f(x)(3x1)，所以g(x)f(x)30，故g(x)在R上单调递减，又

g(2)f(2)50，所以当x2时，g(x)0，即f(x)3x1，所以f(x)3x1的解集

为(2，)，故选C．

6．设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，y1y24，

x221y11126(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y，两式相减，得2

)

0，所以

x222y2126

1126

数学参考答案·第1页（共9页）

{#{ABSYiQogigAAIAAQhCQwVACEOQkACACIoOQAAAMAAAgBFABAA=}#}

2(x1x2)4(y1y2)yy110，所以k12，经检验，k满足题意，故选A．

126x1x244

a2S7n(n6)．易得数列{nn}为等差数列，且an2n7，Snn6n，则bn，令an2n7

22

f(x)x6x，x0，则f(x)2(x7x21)20，故f(x)

077在，，，2x7(2x7)2

上单调

2

递增，没有最大值，因为b11，b39，b48，结合数列的函数特征易得，当n4时，bn

取得最小值，故选A．

8bacos19712sin219732sin2112sin2121sin21．，令

51001010010010501010010

f(x)xsinx，则f(x)1cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以当x0时，

f(x)11c51f(0)0，即有xsinx(x0)成立，所以sin2，所以ba.因为

10010b10

sin1

551

222

tan1，令g(x)tanxx，则g(x)cosxsinx11cosx

1105cos2xcos2

≥0，所以函数

cosx

5

g(x)在定义域内单调递增，所以当x0时，g(x)g(0)0，即有tanxx(x0)成立，

所以tan1151tan15tan1c，即1，所以1，又b0，所以cb，综上：cba，

551055b

故选B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ABDABCABDABD

【解析】

9．2πππππ2，m1，2kπ，kπ，又||，故，即

π12626

f(x)sin2xπ1T2ππ[02]f5πsin5ππ，故，值域为，，

6212

211，故

126

Cx2ππ3π13π错误，当，π时，2x，，故D正确，故选ABD．3626

10．易得a0.05，产品长度在30mm以下的比例为(0.010.010.040.060.05)5

0.8585%，在25mm以下的比例为85%25%60%，因此，70%分位数一定位于

数学参考答案·第2页（共9页）

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[25，30)内，由2550.70.627，可以估计产品长度的样本数据的70%分位数是

0.850.6

27mm.由最高小矩形可知，众数估计值为22.5，平均数估计值为7.50.0512.50.05

17.50.222.50.327.50.2532.50.137.50.0523.25，故选ABC．

11．记Ai为事件“零件为第i(i1，2，3)机器加工”，记B为事件“任取一个零件为次品”，则

P(A1)0.2，P(A2)0.35，P(A3)0.45，对于A，即P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.10.2

0.02；对于B，P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)0.10.20.08

0.350.080.450.084；对于C，P(A|B)

P(A2)P(B|A2)0.080.351

2P(B)0.0843；对于D，

P(AP(A3)P(B|A3)0.080.4533|B)P(B)0.0847，故选ABD．

12Ax2x1．对于，∵时，2，∴2是f(x)lnx的一个下界，A正确；对于B，f(x)，

xx

(01lnx定义域为，)，f(x)2，令f(x)0，∴xe，当x(0，e)时，f(x)0，x

lne1

当x(e，)时，f(x)0，当xe时，f(e)，当x0，有f(x)，当

ee

x，f(x)0，∴B正确；对于C，f(x)ex(x1)，令f(x)0，∴x1，当

x(，1)，f(x)0，f(x)，当x(1，)，f(x)0，f(x)，∴当x1时，

f(11)，当x，f(x)，∴C错误；对于D，∵1≤cosx≤1，

e

1cosx111cosx

∴2≤2≤2，又2≤1，≥1，∴1≤≤1，∴D正确，1x1x1x1x1x21x2

故选ABD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

1352

答案[2，0)(0，2](，2]

104

【解析】

22

13．sin2cos2cos2sin22sincos2cos2sin2sincos2cos

sin2cos2

tan22tan296213

．

tan219110

数学参考答案·第3页（共9页）

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p

14．由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为3，因此有23，解得p2，故抛物

2

线方程为x24y，从而A(22，2).当△PAF的周长最小即|PA||PF|的值最小，设F

关于准线的对称点为F1，则F1(0，3)，连接AF1，则AF1与准线的交点即为使得

|PA||PF|42

52的值最小的点P，此时可求得P，1，所以5kAP．

4

15．由题意得方程f(x)a20有三个不同的实数根，即方程f(x)a2有三个不同的实数根，

所以函数yf(x)和函数ya2的图象有三个不同的交点．结合图象可得，要使两函数的

图象有三个不同的交点，则需满足0a2≤2，解得2≤a0或0a≤2，所以实

数a的取值范围是[2，0)(0，2]．

16x01lnx1lnx．根据题意可知，，可得a≤e3x1(x0)恒成立，令f(x)e3x1，

xx

则a≤f(x)min，现证明e

x≥x1恒成立，设g(x)exx1，g(x)ex1，当g(x)0

时，解得x0，当x0时，g(x)0，g(x)单调递减，当x0时，g(x)0，g(x)单

调递增，故当x0时，函数g(x)取得最小值，g(0)0，所以g(x)≥g(0)0，即

exx10exx1f(x)e3x1lnx1xe

3xlnx1

≥≥恒成立，1

xx

elnx3xlnx11lnx3x1lnx1≥12，所以f(x)min2，即a≤2，所以实数xx

a的取值范围是(，2]．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

（1）解：∵anSnSn1SnSn1(n≥2)，

∴(SnSn1)(SnSn1)SnSn1(n≥2).

又Sn0，Sn10，∴SnSn11，

又S11，∴数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴Sn1(n1)1n，故S

2

nn.

当n≥2时，a22nSnSn1n(n1)2n1，

当n1时，a11符合上式，

∴an2n1．………………（5分）

数学参考答案·第4页（共9页）

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1111

（2）证明：∵bn(n≥2)Sn2n1n，n

∴Tnb1b2bn

1112212n2

11111171722，1223n1n4n4

即T

7

n．………………（10分）4

18．（本小题满分12分）

1x12345解：（）3，

5

n5

(xix)(yiy)xiyi5xy

相关系数ri1i1

nn5

(xx)2(yy)2x2

2

5x

5

y25y2iiii

i1i1i1i1

1483.85377328.8328.8

0.98，

(5559)(409545772)113090336.3

因为y与x的相关系数r0.98，接近1，

所以y与x的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………（6分）

n5

(xix)(yiy)xiyi5xy

（2）bi1i1n5

(xix)2x2i5x2

i1i1

1483.85377328.8

32.88，

555910

aybx7732.88321.64，

所以y与x的线性回归方程为y32.88x21.64，

又2023年对应的年份代码x6，y32.88621.64175.64，

所以预测2023年底贵州省刺梨产业的综合总产值为175.64亿元．………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：函数f(x)ax的反函数为g(x)logax，

f(x)axlna，f(x1)a

x1lna，

数学参考答案·第5页（共9页）

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g(x)11，g(x2)，xlnax2lna

所以得ax1x2ln

2a1，两边同时取以a为底的对数得

loga(a

x1x2ln

2a)loga1，

logaa

x1logax2loga(ln

2a)0，

x2ln(lna)即1g(x2)0．…………（6分）lna

（2）解：函数f(x)ax与函数g(x)logax互为反函数，其函数图象关于yx对称，

所以函数yf(x)与函数yg(x)的图象有两个交点等价于函数yf(x)与yx的图象

有两个交点，

即方程lnaxlnx有两个解，

即a>1时，xlnalnx，

即方程lnalnx有两个解，

x

lnx1lnx

令h(x)，h(x)2，xx

当x(0，e)时，h(x)1lnx20，x

函数h(x)在x(0，e)上单调递增，且h(1)0，

当x(e，)时，h(x)1lnx20，x

函数h(x)在x(e，)上单调递减，

且当x时，h(x)0，

所以当x1e时，函数h(x)取到最大值h(e)，

e

所以0lna1，

e

1

即1aee．……………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，

由卷图甲可知，四边形EBCF是矩形，且CB2EB，

1

∴O是线段BF与CE的中点，∴OH//BC且OHBC，

2

数学参考答案·第6页（共9页）

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1

在卷图甲中，AG//BC且AGBC，EF//BC且EF=BC．

2

1

所以在卷图乙中，AG//BC且AGBC，

2

∴AG//OH且AGOH，

∴四边形AOHG是平行四边形，则AO//HG，

由于AO平面GCF，HG平面GCF，∴AO//平面GCF．………（6分）

（2）解：由卷图甲，EFAE，EFBE，折起后在卷图乙中仍有EFAE，EFBE，

∴AEB即为二面角AEFB的平面角，∴AEB120，

以E为坐标原点，EB，EF分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系Exyz如图1，

且设CB2EB2EA4，

则B(2，0，0)，F(0，4，0)，A(1，0，3)，

∴FG1FEEAAGFEEAEF(1，2，3)，

2

BA(3，0，3)，FCEB(2，0，0)，

图1

设平面GCF的一个法向量n(x，y，z)，

nFC0，2x0，

由得取y=3，则z2，

nFG0，x2y3z0，

于是平面GCF的一个法向量n(0，3，2)，

∴cosnBAnBA237，，

|n||BA|1277

7

∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．……（12分）

7

21．（本小题满分12分）

π

解：（1）c1，F1DF2，△FDF为等边三角形，312

22

所以，a24，b23xy，则椭圆E：1，

43

则a2，c1

c1

，则椭圆的离心率为．……………（5分）

a2

数学参考答案·第7页（共9页）

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（2）如图2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(4，n)，

xxyy

则椭圆E在点A，B的切线方程分别为111，

43

x2xy2y1，

43

4xny4xny

又M在两条切线上，则111，221，

4343

4xnyny

则直线AB的方程为1，即x1，图2

433

x

ny

1，

3

由整理得，(n22212)x

224x124n20，

xy

143

xx24124n

2

则122，xx，n1212n212

则|AB|

9

122[(x1x2)4xxn12

]

9124

2

4816n24(n29)2222，nn12n12n12

2

4n1

3

又点M到直线AB的距离dn29，

1n

2

9

则△MAB的面积为

12|AB|d14(n9)n292(n

29)

22n

29，

22n12n12

令sn29，则n2s29，s≥3，

2(n29)3

则n292s，s≥3，

n212s23

2x3

令p(x)2，x≥3，x3

22

p(x)6x(x3)4x

42x418x2

则220(x恒成立，3)(x23)2

32279

则p(x)2x在[3，)2上单调递增，则p(x)≥p(3)，x3932

当且仅当n0，即点M坐标为(4，0)时等号成立，

9

则△MAB的面积的最小值为．………（12分）

2

数学参考答案·第8页（共9页）

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22．（本小题满分12分）

（1）解：F(x)f(x)g(x)1x2xaln(xa)的定义域为(a，+∞)，

2

ax(xa1)

又F(x)x1，

xaxa

当1a0时，F(x)在(0，a+1)上单调递增，F(x)在(a，0)和(a+1，+∞)上单调递减；

当a1时，F(x)在(1，)上单调递减；

当a1时，F(x)在(a1，0)上单调递增，F(x)在(a，a1)和(0，)上单调递减．

………………………（5分）

（2）证明：由H(x)f(x)g(xa)1x2xalnx，x0，

2

2

H(x)x1axxa则