江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象 课件（2份打包）

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1

基础落实·必备知识全过关

2

重难探究·能力素养全提升

课程标准1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.

2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.

01

基础落实·必备知识全过关

知识点正切函数的图象与性质

解析式

图象

定义域

值域

周期

奇偶性奇函数

对称中心

单调性

过关自诊

1.正切曲线是中心对称图形吗？若是,对称中心是什么？是轴对称图形吗？

提示正切曲线是中心对称图形,对称中心为,不是轴对称图形.

2.正切函数的图象与直线,有公共点吗？

提示没有.正切曲线是由被互相平行的直线隔开的无穷多支曲线组成的.

3.函数的最小正周期为()

C

A.B.C.D.

[解析]根据正切函数的周期公式计算得最小正周期.

4.的解集为()

D

A.,B.,

C.D.,

[解析]由的图象知（图略）,当时,,.故选D.

02

重难探究·能力素养全提升

探究点一正切函数的定义域与值域问题

【例1】求下列函数的定义域和值域:

（1）;

解依题意得,,

所以,，

所以函数的定义域是.

由正切函数的值域可知该函数的值域是.

（2）.

依题意,所以.

结合的图象（图略）可知,在区间上,满足的角应满足

,所以函数的定义域为,,其

值域为.

规律方法（1）求正切函数定义域的方法及注意点:

求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数有意义,即,.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.

（2）解形如的不等式的步骤:

变式训练1求函数的定义域.

解依题意有,所以.

所以,.

又,,故函数定义域为

.

探究点二正切函数的单调性及其应用

角度1.求正切函数的单调区间

【例2】求函数的单调区间.

解.

由，得,,所以函

数的单调递减区间是,无单调递增区

间.

规律方法的单调区间的求法是把看成一个整体,解,即可.当时,先用诱导公式把化为正值,再求单调区间.

变式训练2函数的单调递减区间为__________________________.

[解析].

由,得,

函数的单调递减区间为.

角度2.比较大小

【例3】不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.

（1）与;

解,.

因为,在上单调递增,

所以,即.

（2）与.

,.

因为,在上单调递增,

所以,所以,

即.

规律方法运用正切函数单调性比较大小的方法

（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;

（2）运用单调性比较大小关系.

变式训练3比较下列两个数的大小（用“”或“”填空）:

①___；

[解析],且,又在上单调递增,

所以,即.

②___.

[解析],,

因为,又在上单调递增,

所以,则.

探究点三正切函数的周期性与奇偶性

【例4】（1）求函数的最小正周期;

解由题可知,故函数的最小正周期为.

（2）已知函数,若,求的值.

令,则.

因为,,所以

是奇函数.

因为,

所以,则,故

.

规律方法与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性:

（1）一般地,函数的最小正周期为,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.

（2）函数是奇函数,其图象关于原点对称.若函数是奇函数,则.

变式训练4（1）函数()

A

A.是奇函数B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数

[解析]要使有意义,必须满足即且

,所以函数的定义域关于原点对称.

又,

故是奇函数.

（2）若函数的最小正周期是,则____.

[解析]依题意有,即,所以.

探究点四正切函数图象与性质的综合应用

【例5】设函数.

（1）求函数的最小正周期和图象的对称中心;

解,

的最小正周期.

令,得,

的图象的对称中心是.

（2）作出函数在一个最小正周期内的简图.

令,则;令,则;

令,则，函数

的图象与轴的一个交点坐标

是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐

近线方程分别是,,从而得到函数在一个最小正周期内的简图

（如图）.

规律方法熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键,正切曲线是被相互平行的直线,隔开的无穷多支曲线组成的,的图象的对称中心为,.

变式训练5[2023山东邹城期末]已知函数.

（1）求的定义域和最小正周期；

解对于函数,应有,,解得,

,所以函数的定义域为,函数的最小正周期为.

（2）求的单调区间.

令,,则,,所以函数的

单调递减区间为,,没有单调递增区间.

本节要点归纳(共21张PPT)

01

分层作业

A级必备知识基础练

1.［探究点一］函数的定义域为()

A

A.B.

C.D.

[解析]由题意得即,

所以,故选A.

2.［探究点四］（多选题）与函数的图象不相交的一条直线方程是

()

AD

A.B.C.D.

[解析]令,,得,,

直线,与函数的图象不相交,当时,

;当时,.

3.［探究点三］函数()

A

A.是奇函数B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数

[解析]函数的定义域为,关于原点对称.

设,

则.

所以是奇函数.故选A.

4.［探究点四］函数的对称中心是()

C

A.B.

C.D.

[解析]由,,得,,

函数的对称中心是,.

5.［探究点三］下列四个函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递增的是

()

C

A.B.C.D.

[解析]在区间上,,则不单调,故A错误；在区间上,

,单调递减,故B错误；在区间上,单调递增,且其

最小正周期为,故C正确；根据函数以为最小正周期,但的周期为

,故D错误.故选C.

6.［探究点二（角度）］函数的单调递增区间是

_______________________.

,

[解析]令,,则,,所以函

数的单调递增区间是,.

7.[探究点二（角度2）·2023河南南阳唐河月考],,的大小顺序是

____________________.

[解析]因为,2,,且在和上均单调递增,所以

,且,所以.

8.［探究点一］求函数,的值域.

解,.

令,则.

.

当,即时,,

当,即时,.

故所求函数的值域为.

B级关键能力提升练

9.下列图形是；

；；

在内的大致图

象,那么由到对应的函数关系式应是

()

D

A.①②③④B.①③④②

C.③②④①D.①②④③

10.在区间范围内,函数与函数图象交点的个数为()

C

A.1B.2C.3D.4

[解析]在同一平面直角坐标系中,首先作出

与在区间内的图象,

需明确时,有,然后利

用对称性作出时两函数的图象

（注意正切函数的定义域）,如图所示,由图象可

知它们有三个交点.

11.方程在上的解的个数是()

B

A.5B.4C.3D.2

[解析]由题意知,,,所以,.

又，所以,,,,共4个.故选B.

12.（多选题）下列关于函数的相关结论，正确的有()

AC

A.的定义域是

B.的最小正周期是

C.的单调递增区间是,

D.的对称中心是

[解析]令，解得，则函数的定义域是

,，A选项正确；

函数的最小正周期为，B选项错误；

令，解得，则函数

的单调递增区间是，C选项正确；

令，解得，则函数的图象的对称中心

为，D选项错误.

13.（多选题）对于函数（其中,,）,选取,,

的一组值计算和,所得出的结果可能是()

ABC

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

[解析]设,显然为奇函数.

,,

.

,为偶数.故选.

14.已知函数在区间上单调递减,则的取值范围为_______.

[解析]由题意可知,

又,故.

15.关于的函数有以下几种说法:

①对任意的,既不是奇函数，也不是偶函数;

②的图象关于对称;

③的图象关于对称;

④是以为最小正周期的周期函数.

其中不正确的说法的序号是____.

①

[解析]①若取,则,此时,为奇函数,所以①错;观察正

切函数的图象,可知其关于对称,令,,得

,分别令,2知②,③正确,④显然正确.

16.是否存在实数，且，使得函数在区间上单调递增？

若存在，求出的一个值；若不存在，请说明理由.

解,

在区间上单调递增，

结合题意,易得,

又,,

,

解得.