必要条件与充分条件 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§2常用逻辑用语1.2.1

必要条件与充分条件

前面,我们学习了集合,会用集合语言表述集合的概念、关系和运算,集合语言是数学的基本语言,除此以外,数学还有其他的基本语言，本节课我们通过梳理初中学过的性质定理和判定定理,学习数学中关于命题的一种基本语言——逻辑语言,即

“常用逻用语”问题1：阅读课本第14页第一段和第二段及课本P14-P17的标题部分，

回答下列问题：

（1）本节将要研究哪些内容？

（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？

（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法．

问题2：在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？

你能找到课本P14-P17有哪些命题吗？

试着将这些命题改写成“若p，则q”的形式．并判定他们的真假

问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：若p，则q形式

如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直P：四边形为菱形，

q：四边形的对角线互相垂直追问1：这是真命题吗？反过来，如果q不成立，p是否会成立呢？

析（1）

性质定理都是真命题，即p⇒q由条件p：四边形为菱形，通过推理可以得到结论q：这个四边形的对角线

互相垂直，即对角线互相垂直是菱形必有的性质

（2）反之，

如果某个四边形的对角线不互相垂直,那么这个四边形一定不是菱形，

（3）如果一个四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直是必不可少的，是必需的，必要的。问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：若p，则q形式

如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直P：四边形为菱形，

q：四边形的对角线互相垂直追问2：“对角线互相垂直是菱形必有的性质”,如何理解“必有”?“必有”:必须具备的,不可缺少的;如果没有就不可以

所以说“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.

即q是p的必要条件一般地,当命題“若p则q"”是真命题时,称q是p的必要条件.

也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：若p，则q形式

如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直P：四边形为菱形，

q：四边形的对角线互相垂直

从集合的角度可知，

小范围⇒大范围

所以说“大范围”是“小范围”的必要条件抽象概括

一般地,当命題“若p则q"”是真命题时,称q是p的必要条件.

也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的

从集合角度判定逻辑关系:对于命题“若p，则q”，

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，

若A⊆B，则p⇒q，q是p的必要条件，

从集合的角度可知，小范围⇒大范围

，

所以说“大范围”是“小范围”的必要条件，

也可以说“小范围”的必要条件是“大范围”抽象概括问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。追问4：p:四边形为菱形，q:四边形的对角线互相平分，q是否是p的必要条件

四边形为菱形的必要条件唯一吗？

析:若p，则q真命题，即p⇒q由条件p：四边形为菱形，推理可以得到结论q：这个四边形的对角线

互相平分，即对角线互相平分是四边形是菱形的必要条件

四边形为菱形的必要条件不唯一问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。追问5：性质定理与必要条件有怎样的关系？性质定理的作用是什么？析：四边形的对角线互相平分，与四边形的对角线互相垂直都是菱形的重要性质，是一个四边形是菱形的必要条件，是菱形的重要特征，因此，性质定理是描述了数学对象的某一类特征，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是提示这个研究对象的某个特征，是判定一个事物的必要条件，它仅仅是从某些方面反映事物的特征，因此，必要条件可用来区别一个事物与另外一个事物，一般地，数学中的每个性质定理都给出了成为相应数学对象的一个必要条件。问题3：定理1菱形的对角线互相垂直。

请将定理1菱形的性质定理写成“若p，则q”形式的命题，

判定真假，并探究p与q之间的关系。追问6：p:四边形为菱形，q:四边形的对角线相等，q是否是p的必要条件

思考交流：结合定理1，试分析判定必要条件的思路，

并阅读课本第14页的实例分析定理2，定理3，

回答“思考交流”中的问题必要条件的判断方法①分清命题的条件和结论，转化为命题的基本结构：“若p，则q”形式；②判断命题“若p，则q”的真假；③根据定义得出结论，在“若p，则q”是真命题的前提下，称q是p的必要条件④除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断必要条件定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等析：两个角相等是这两个角是对顶角的必要条件；两个三角形的对应角相等是这两个三角形是全等三角形的必要条件问题4：定理4若a>0,b>0,则ab>0.

请分析定理4，写出条件p和结论q，判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追问1：这是真命题吗？

如果p不成立，q是否会成立呢？

析（1）

判断定理都是真命题，由条件p：a>0,b>0，通过推理可以得到结论q：ab>0

即p⇒q

有了“a>0,b>0”这个条件足够可以判定“ab>0”p⇒q,

只要有了p成立，足够保证q成立，p成立充分保证q成立，即p是q的充分条件

（2）但要注意,当ab>0时,a>0,b>0不一定成立,

例如,由“a<0,b<0”,也可以判定“ab>0”，一般地,当命题“若p则q”是真命题时,称p是q的充分条件

综上,对于真命题“若p则q”即p⇒q时,

称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件充分条件，必要条件的判断方法①分清命题的条件和结论，转化为命题的基本结构：“若p，则q”形式；②判断命题“若p，则q”的真假；③根据定义得出结论，在“若p，则q”是真命题的前提下，称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件④除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件抽象概括问题4：定理4若a>0,b>0,则ab>0.

请分析定理4，写出条件p和结论q，判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0

从集合的角度可知，

小范围⇒大范围

所以说“小范围”是“大范围”的充分条件析：A⊆B,x∈A⟹x∈B

p⟹q

p是q的充分条件

一般地,当命题“若p则q”是真命题时,称p是q的充分条件

综上,对于真命题“若p则q”即p⇒q时,

称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件

从集合角度判定逻辑关系:对于命题“若p，则q”，

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，

若A⊆B，则p⇒q，

p是q的充分条件，q是p的必要条件

从集合的角度可知，小范围⇒大范围，所以说“小范围”是“大范围”的充分条件，也可以说“大范围”的充分条件是“小范围”“大范围”是“小范围”的必要条件，也可以说“小范围”的必要条件是“大范围”抽象概括问题4：定理4若a>0,b>0,则ab>0.

请分析定理4，写出条件p和结论q，判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追问3：结合定理4，试再写出q：ab>0的一个充分条件

析：“a<0,b<0”,也可以判定“ab>0”，“a<0,b<0”是“ab>0”的充分条件

“ab>1”是“ab>0”的充分条件……注：q的充分条件不唯一问题4：定理4若a>0,b>0,则ab>0.

请分析定理4，写出条件p和结论q，判定真假，并探究p与q之间的关系。

析：

P：a>0,b>0，

q：ab>0追问4：p：a>0q：ab>0,p是q的充分条件吗？

问题4：定理4若a>0,b>0,则ab>0.

请分析定理4，写出条件p和结论q，判定真假，并探究p与q之间的关系。追问5：（思考交流）试用分析定理4的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形定理6平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似

定理5“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的一个充分条件

定理6“

平行于三角形一边的直线截其他两边”是“截得其他两边所得的三角形

与原三角形相似”的一个充分条件

析：定理5若四边形的对角线互相平分则这个四边形是平行四边形

真命题

定理6若平行于三角形一边的直线截其他两边则截得其他两边所得的三角形

与原三角形相似真命题

课前预习发现问题01追问6：定理（5）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，

即“四边形的对角线互相平分”．这样的充分条件唯一吗？

如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件．

析

①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；

②若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；

③若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．

④若四边形是正方形，则这个四边形是平行四边形；……追问7：你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？析：判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，

即判定定理中的条件给出了判定一个事物的充分条件，

数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．追问8：试分别写出“四边形是矩形”的一个充分条件和一个

必要条件，比较判定定理与性质定理的区别追问9：分析p与q的逻辑关系有多少类不同的关系？若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA