集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语第一节集合的有关概念集合的有关概念集合的概念：集合是集合论中最原始的未定义的概念，只作描述性的说明，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…来表示。2.集合的元素:构成集合中的每一个对象叫做这个集合的元素.集合中的元素通常用小写的拉丁字母。,b,c，…来表示。空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作中集合元素的特征：集合元素具有下列特征：确定性：设A是一个给定的集合，X是某个具体的对象，则X或者是集合A中的元素，或者不是集合A中的元素，两种情况必有一种成立。互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也应当是说“集合中的元素是互异的”。无序性：集合中的元素在集合中的位置是任意的，是没有顺序的。.集合的分类：按集合元素的性质可分为：数集、点集和具有其他性质的集合；按集合中元素的个数可分为两类：有限集、无限集。有限集：集合中的元素个数是有限的； ②无限集：集合中的元素个数是无限的；而空集作为集合的一个特殊类型出现在集合的分类中，规定空集是不含任何元素的集合，记作中。.集合的元素和集合的关系元素和集合是“属于”和“不属于”的关系。某个对象要么是集合A的元素，要么不是集合A的元素，如果X是集合A的元素，那么称为“X属于集合A”，记作“xeA；”如果X是不集合A的元素，那么称为“X不属于集合A”，记作“X史A”元素和集合之间的关系是个体和整体的关系。符号“e和W”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非是在具有特殊意义的集合与集合的关系时。.集合的表示法：特定集合的表示：为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示。全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N。全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*(或N+)。全体整数组成的集合称为整数集，记作z。 +全体有理数组成的集合称为有理数集，记作。。全体实数组成的集合称为实数集，记作R。一般集合的表示法：集合的表示法有三种：列举法、描述法和图示法(Venn图法)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如:｛1,2,3,4,5,6｝等.使用列举法时，需要注意以下几点：i元素间用逗号分隔开；ii元素不能重复；iii元素可任意放置；iv对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显的规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。就是说如果在集合I中，属于集合A的任何一个元素X都具有性质P，而不属于集合A的元素都不具有性质P，于是把具有性质P的所有元素集在一起就组成一个集合A，记作A=｛xe11了具有性质P｝，其中x是集合A的代表元素，I是X的取值范围。例如：｛xeRIX2+2x—4>0｝|注意：i描述法表示集合时要注意其表示格式：大括号内“I”的前面是集合的代表元素及其取值范围，后面是代表元素所具有的本质特性，分隔符“I”有时也用“：”代替，如｛a+血:aeQ,beQ｝；ii多层描述时，应该准确使用“且”和“或”；i所有的描述都放到集合的符号内，并力求语句简明、准确。

个方法表示:描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言和图形语言，比如直线y=]+1上所有点的集合，可以用以下三个方法表示:方法一：文字语言形式：{直线y=x+1上的点};方法二：符号语言形式：{(x,y)1y=x+1}；方法三：图示语言形式：在平面直角坐标系内画出直线y=x+1(如图1.1-1)。图示法(Venn图法)：为了形象地个集合，我们通常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法。(如图1.1-2)二、 子集的有关概念子集：定义:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，记作:A匚B(或B^A)，即“若xeAnxeB”当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：A也B(或B圭A)，即存在xeAnxWB疽规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合A，有：中CA子集的性质：一个集合是它自身的子集，即ACA; ②①CA;有n个元素的集合一共有2n个子集；非空子集的个数为2〃-1.*④若集合A={a,a，…，a}，则集合A的所有子集的元素总和为2n-1(a+a+...+a)1 2 3 1 2 3真子集：集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，则集合A是集合B的真子集，记作：A^B，即“若ACB，且存在xeBnxWA”。规定：空集是任何非空集合的真子集.也就是说，对任何一个集合A尹中，有•.据A真子集的性质：①A膈B=“若ACB，且存在xeBnxWA”； ②A尹中，有：中膈A;有n个元素的集合一共有2n-1个真子集;非空真子集的个数为2n-2.等集：定义:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作：A=B，即“ACB，且BCA”。相等的两个集合具有以下性质：①集合A与集合B的元素完全相同，②两个集合的所有元素之积相等。③两个集合的所有元素之和相等；三、 集合的运算交集：定义:对于给定的两个集合A和B，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AnB(读作“A交B”)，即:AnB={x|xEA，且xEB}.对于交集“AnB={x|xEA，且xEB}”，不能简单地认为AnB中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于AnB，这是因为并非任何两个集合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AnB=中.交集的性质：①(交换律)anb=bna:②ana=a:③an©=©:④acb=anb=a:⑤(结合律)an(bnc)=(anb)nc.并集：定义:对于给定的两个集合A和B，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作：AUB(读作“A并B”)，即:AUB={x|xEA，或xEB}.对于并集“AUB={x|xEA，或xEB}”，不能简单地理解为AUB是由A的所有元素与B的所有元素组成的集合，这是因为A与B可能有公共元素，故上述理解与集合的互异性不符。并集的性质：①(交换律)AUB=BUA:②AUA=A:③AU4=A:④AcB=AUB=B:⑤(anB)cAc(AUB);⑥(AnB)cBc(AUB):⑦(结合律)(AUB)UC=AU(BUC):⑧(分配律)AU(BnC)=(AnC)U(AnB)；An(BUc)=(AUB)n(AUc):⑨(吸收律)AU(AnB)=A，An(AUB)=A；全集与补集：全集定义:如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.补集定义：设S是一个集合，A是S的一个子集(即A匚S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CsA，即：CSA={x|x£S，且xWA}.全集、补集的性质： SS设U是全集，AcU，贝ijAU(CA)=U；UAA(CUA)=^；C(CA)=A；Cu(AUB)=(CuA)A(CuB)；Cu(AAB)=(CuA)U(CuB)；AcBo^^B或A=BOAA(qB)=^O(C。B)c(C。A)OAACB=①0CAUB=R；AAU=A:⑧AUU=U有限集合所含元素个数的几个简单性质：card(AUB)=cardA+cardB-card(AAB)card(AUBUC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)-card(AAB)-card(BAC)-card(CAA)+card(AABAC)设全集为U，集合A是集合U的子集，则cardU=cardA+card(^A)第二节常用逻辑用语、命题与常用逻辑用语命题及其关系定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈术句叫命题。一般一个命题可以用小写的英文字母：p，q，r，…表示。根据这个定义，说明并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题，而疑问语句、祈使语句、感叹语句均不是命题，但是科学的猜想是命题。真命题与假命题判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫叫做假命题，一个命题要么是真命题，要么是假命题。命题的表示形式命题的一般形式为：若p，则q。也可写成“如果p，那么q”，或“只要p，就有q”等形式。我们把这种形式下命题中的p叫做命题的条件，把q叫做命题的结论。四种命题互逆命题定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论是另一个倒是的结论和条件，那么我们把这样的两个倒是叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。命题的形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。特点：将一个已知命题的条件和结论互换，就可以得到另一个新的命题，它是已知命题的逆命题。互否命题①定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

②四种命题的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题之间的真假关系如下:形式：如果原命题为“若p,贝0q”，那么它的否命题就是：“若「p,形式：如果原命题为“若p,贝0q”，那么它的否命题就是：“若「p,贝0「q”。对“「p”和“「q”的说明：条件p的否定和结论q的否定分别是“「p”和“「q”,读作“非p”和“非q”。互为逆否命题定义：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。形式：如果原命题为“若p,则q”，那么它的逆否命题就是“若「q,则「p”。四种命题的互相关系①四种命题之间相互关系：把命题称为逆命题、否命题和逆否命题都是以原命原命题若p则q否命题若［P则［C互逆互逆逆命题若q则p否逆否命题若^q则np题为基础的。当然我们也可以把其中任何一个命题看作是原命题的。它们之间的关系如图2.1-1如图2.1-1①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。③四种命题中真命题的个数为0个、2个或4个，即真命题的个数有偶数个。二、充分条件和必要条件1.推出的定义当命题“如果p,则q”经过推理论证判断是真命题时，我们就说由p可推出q成立，记作“P»0”读作“p推出q”。充分条件和必要条件定义：①从逻辑揄观点看，对于命题“若p则q”：如果已知“p习q,但q泠p”，则称p是q的充分不必要条件；如果已知“puq,但paq”，则称p是q的必要不充分条件；如果已知“pAq”，且“pUq”，就记作pOq,则称p是q的充要条件。如果已知“pAq且qAp”，则称p是q既非充分又非必要条件。从集合观点看，建立命题p、q相应的集合A={xlp(x)成立}，B={xlq(x)成立},那么若ACB则p是q的充分条件；若A盘B,则p是q的充分非必要条件;若BCA,则p是q的必要条件；若BWA，贝0p是q的必要非充分条件；若人=8,则p是q的充要条件；若A⑦B且B⑦A,则p既不是q的充分条件，也不是必要条件判断充要条件的方法①定义法；②逆否法；③集合法。注：逆否法是指：若「pA「q,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若「pA「q,且「qA「P，则P是q的必要非充分条件；若「P=「q,则P与q互为充要条件；若「PA「q，且「qA「P,则P既不是q的充分条件，也不是必要条件。充分条件，必要条件的内涵充分条件内涵：“有了足够，换亦可能”；必要条件内涵：“缺了不成，有了不够”。三、逻辑联结词理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，把握它们与集合中的并集、交集、补集的对应关系。不含逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，复合命题的构成形式是：P或q(记作PVq)；P且q(记作PAq)；非P(记作「q)其中p,q,…表示命题。判断一个复合命题的真假，一般分如下三个步骤：确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；真值表如下：Pqp或qp且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一真必真一假必假一真一假四、反证法反证法的步骤：反证法是一种间接证法用反证法证明一个命题“AnB”可分3个步：①反设：假设B不成立，则「B成立；②归谬：从“A且非8，入手，进行正确推理，推出矛盾③结论：由矛盾知假设“B不成立”是错误的，从而B成立［注］第(2)步归谬是反证法的核心。其一，归谬入手点是从