甘肃省白银市会宁县会宁县第一中学2023-2024学年数学高二上期末监测模拟试题含解析

甘肃省白银市会宁县会宁县第一中学2023-2024学年数学高二上期末监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值2．已知等比数列中，，则这个数列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.163．椭圆的（）A.焦点在x轴上，长轴长为2 B.焦点在y轴上，长轴长为2C.焦点在x轴上，长轴长为 D.焦点在y轴上，长轴长为4．函数的部分图像为（）A. B.C. D.5．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.6．已知，且，则实数的值为（）A. B.3C.4 D.67．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B.C.1 D.8．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知等比数列满足，则（）A.168 B.210C.672 D.105010．“”是“直线与互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，，点P在x轴上，且，则点P的坐标为______14．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：①曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线有4条对称轴；③曲线上任意一点到原点的距离都不小于1；④曲线所围成图形的面积大于4；其中，所有正确结论的序号是_____15．设O为坐标原点，F为双曲线的焦点，过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，且的内切圆的半径为，则C的离心率为____________16．已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.18．（12分）在①(b－c)cosA=acosC，②sin(B+C)=－1+2sin2，③acosC=b－c，这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______________（1）求角A的大小；（2）若a=2，且△ABC的面积为2，求b+c19．（12分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.20．（12分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆（1）求椭圆方程；（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值21．（12分）已知数列的前n项和（1）求的通项公式；（2）若数列的前n项和，求数列的前n项和22．（10分）已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若时，对任意都有恒成立，求实数的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.2、A【解析】直接利用公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，由已知，，所以，解得.故选：A3、B【解析】把椭圆方程化为标准方程可判断焦点位置和求出长轴长.【详解】椭圆化为标准方程为，所以，且，所以椭圆焦点在轴上，，长轴长为.故选：B.4、D【解析】先判断奇偶性排除C，再利用排除B，求导判断单调性可排除A.【详解】因为，所以为偶函数，排除C；因为，排除B；当时，，，当时，，所以函数在区间上单调递减，排除A.故选：D5、D【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D6、B【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.详解】因，且，则有，解得，所以实数的值为3.故选：B7、B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离【详解】解：抛物线的焦点准线方程，设，，，解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为，故选：B【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题8、D【解析】将方程化为标准式即可.【详解】方程化为标准式得，则.故选：D.9、C【解析】根据等比数列的性质求得，再根据，即可求得结果.【详解】等比数列满足,设等比数列的公比为q,所以,解得，故，故选：C10、A【解析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.11、D【解析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D12、D【解析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解【详解】解：根据双曲线方程可知右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，②当与轴不垂直时，可设直线方程为联立方程可得当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，当时，，整理可得即故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，由，可得，求解即可【详解】设，由故解得：则点P的坐标为故答案为：14、②③④【解析】根据曲线方程作出曲线，即可根据题意判断各结论的真假【详解】曲线的简图如下：根据图象以及方程可知，曲线C恰好经过9个整点,它们是，，，所以①不正确；由图可知，曲线有4条对称轴，它们分别是轴，轴，直线和，②正确；由图可知，曲线上任意一点到原点的距离都不小于1，③正确；由图可知，曲线所围成图形的面积等于，④正确故答案为：②③④15、##【解析】，作出渐近线图像，由题可知的内切圆圆心在x轴上，过内心作OA和AB的垂线，可得几何关系，据此即可求解.【详解】双曲线渐近线OA与OB如图所示，OA与OB关于x轴对称，设△OAB的内切圆圆心为，则M在的平分线上，过点分别作于点于，由，则四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，∴，且，∴，∴，则.故答案为：.16、【解析】设，，利用可得即可求得，利用两点间距离公式求出、，面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】设，，由可得，解得：，，，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设，坐标，采用设而不求的方法，将转化为，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求的最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，18、（1）（2）【解析】（1）选①：化边为角化简求出cos；选②：利用倍角公式将sin()=−1+2sin2化简为sin=−cos,再利用辅助角公式求解即可；选③：化边为角化简运算求解（2）利用面积公式求得，再利用余弦定理可得，计算即可.【小问1详解】选①∵∴sincos=sinCcos+sincosC=sin(+C)=sin∴cos∵∈,∴=选②∵sin()=−1+2sin2,∴sin=−cos∴sin(+A)=1∵A∈∴A=选③∵∴∴∵A∈,∴A=【小问2详解】∵,∴又∵∴即19、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.选②③时，设数列公差为，因为，所以，即，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.选①③时，设数列公差为，因为，所以时，，所以.又因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而无解，所以等差数列不存在，故不合题意.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计算出即可；(2)设的方程，和，联立椭圆方程并消元得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理得到，进而求出和，根据平行线间的距离公式可得与的距离，得出所求四边形面积的表达式，结合换元法和基本不等式化简求值即可.【详解】解：（1）设点，，则点，，，∵，∴，∴，∵点在椭圆上，∴，即为点的轨迹方程又∵点的轨迹是过的圆，∴，解得，所以椭圆的方程为（2）由题意，可设的方程为，联立方程，得设，，则，且，所以，同理，又与的距离为，所以，四边形的面积为，令，则，且，当且仅当，即时等号成立所以，四边形的面积最大值为21、（1），；（2），.【解析】（1）根据的关系可得，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而可得的通项公式；（2）利用的关系求的通项公式，结合（1）结论可得，再应用分组求和、错位相消法求的前n项和【小问1详解】．①当时，，可得当时，．②①－②得，则，而a1-1=1不为零，故是首项为1，公比为2的等比数列，则∴数列的通项公式为，【小问2详解】∵，∴当时，，当