辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题（含解析）

第第页辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题（含解析）辽东教学共同体2023-2024学年高一上学期10月联考

（数学）

（考试时间：120分钟满分150分）

第一部分：客观题（60分）

一、单选题（本部分包括8小题，每题5分，总共40分）

1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A．B．

C．D．

2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3．已知集合，．若，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

4．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A．B．C．D．

5．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（）

A．B．或

C．D．或

6．已知函数则函数的值域为（）

A．B．C．D．

7．当时,若,且,则称为的一个“孤立元素”,由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”,若集合的孤星集为,集合的孤星集为,则()

A．B．

C．D．

8．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（）.

A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集

B．集合是“和谐集”

C.对任意两个不同的“和谐集”，总有

D.若都是“和谐集”，则

二、多选题（本部分包括4小题，每题5分，总共20分）

9．下列叙述中正确的是（）

A．

B．若，则

C．已知，则“”是“”的充要条件

D．命题“，”的否定是“，”

10．下列说法正确的是（）

A．函数的定义域为

B．和g（x）=x表示同一个函数

C．函数的图像关于坐标原点对称

D．函数f（x）满足，则

11．已知实数a，b，c，其中，，则下列关系中一定成立的是（）

A．B．

C．D．

12．设区间的长度为．已知一元二次不等式的解集的区间长度为，则（）

A．当时，B．的最小值为6

C．当时，D．的最小值为4

第二部分：主观题（90分）

二、填空题（本部分包括4小题，每题5分，总共20分）

13．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”.已知集合A＝{2x，0，＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝.

14．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是.

15．命题，，如果命题为假命题，求实数的取值范围.

16．用表示非空集合A中的元素个数，定义，若，，且，若B中元素取最少个数时m=.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=.

解答题（本部分包括6小题，17题10分，其余每题12分，总共70分）

17．已知集合，集合.

（1）；

（2）.

18．已知集合

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

19．在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：

已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若选______，求实数的取值范围．

20．已知为非零实数.

（1）若，比较与的大小；

（2）求关于的不等式的解集.

21．马斯克的星链计划，隶属于他的SpaceX公司.他要用这几万颗卫星，为地球上每一个角落提供互联网上网服务.国内某企业也计划加大对空间卫星网络研发的投入，发展空间互联网.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名，调整后技术人员的年人均投入调整为万元，研发人员的年人均投入增加

(1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？

(2)现在要求调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，求m的最大值和此时技术人员的人数.

22．将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.

第一行…

第二行…

第三行…

对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.

（Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；

（Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由；

（Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）

答案第1页，共2页辽东教学共同体联考试卷（高一数学）

参考答案及评分标准：

题号123456789101112

答案DDBAADBCABACABDCD

题号13141516

答案{0，6}16．第一空0；第二空或回答出一个即可

1．D

【详解】解：图中阴影部分所表示的集合为.

故选：D

2．D

【详解】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素0,3，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

3．B

【详解】由，可得，

当时，，即，满足题设；

当时，，即，且，可得；

综上，a的取值范围为.

故选：B.

4．A

【详解】若“，”为真命题，得恒成立，只需，

所以时，不能推出“，”为真命题，

“，”为真命题时推出，

故是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，

故选：A．

5．A

【详解】由题意知，，

当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，

即，解得.

故选：A.

6．D

【详解】，

由，解得.

.

令，

函数.

当时，；

当时，，

函数的值域为.

故选：D.

7．B

【详解】解:由题知,由条件及孤星集的定义知,,,

则．

故选:B.

8．C

【详解】解：A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；

B项中，设，则，，

所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；

C项中，取，，都是“和谐集”，

但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故C项为假命题.

D项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故D项为真命题；

故选：C.

9．AB

【详解】对于A：集合中包括0，故，故A正确；

对于B：若，说明集合A和B中均包括元素x，则，故B正确；

对于C：已知，当时，满足，而，所以“”是“”的充要条件为假命题，故C错误；

对于D：由全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“，”的否定是“，”，故D错误．

故选：AB

10．AC

【详解】对于A：由解得或x<－2，

所以函数的定义域为，故A正确；

对于B：的定义域为，的定义为，定义域不相同，

所以和不是同一个函数，故B错误；

对于C：由，所以为奇函数，

所以函数的图像关于坐标原点对称，故C正确；

对于D：因为函数f（x）满足，所以，

由解得，故D错误；

故选：AC.

11．ABD

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，因为，，所以，故B正确；

对于C，当，，时，，故C错误；

对于D，因为，故D正确.

故选:ABD.

12．CD

【详解】因为一元二次不等式的解集为，所以．

当时，．因为，

所以（当且仅当时，等号成立），

所以的最小值为4．

故选：CD.

13．{0，6}

【详解】由题意可知－2x＝x2＋x，解得x＝0或x＝－3.

而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去.

当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}.

故答案为：{0，6}

【点睛】本题考查集合新定义、集合元素的互异性，属于基础题.

14．

【详解】由题设，得或，设或

由，得，设

因为是的充分不必要条件，所以，因此.

故答案为：

15．

【详解】命题为真时，即有恒成立，

当时,代入可得不能恒成立;

当时,需满足，

即，

∴．

当命题为假命题时

故答案为：

16．0或回答出一个即可

【详解】由题意，可知，

当时，，则；

当时，，则；

故B中元素最少个数为，此时，方程存在唯一根，

由知该方程必有一个根为0，故，即；

同时，也可知B中元素最多个数为，则方程存在三个根，则，

此时，必定存在两个不等实根和，

则方程存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为，

①当存在唯一实根时，由得，

当m＝2时，方程为，其根，同时，故此时；

当m＝－2时，方程为，其根，同时，故此时；

②当存在两个不相等的实根但其中一个为时，，不成立；

综上，B中元素最多个数为时，或．

故答案为：第一空0；第二空或回答出一个即可

17．（1）；（2）R.

【详解】（1），

.5分

或7分

R.10分

18．（1）；（2）.

【详解】（1）当时，1分

，因此，5分

（2），.6分

当时，，解得，此时成立；7分

当时，则有，解得.10分

因此，实数的取值范围是.12分

19．(1)

(2)条件选择见解析，答案见解析

【详解】（1）解：当时，，则.4分

（2）解：选①，由题意可知，则，解得，10分

当时，，合乎题意，

当时，，合乎题意.

综上所述，；12分

选②，由题意可知，则，解得，10分

所以，；12分

选③，，则或，解得或.10分

所以，或.12分

20．【详解】（1），2分

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.5分

（2）令，得，.6分

当时，，原不等式的解集为；

当时，，恒成立，原不等式的解集为；8分

当时，，原不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为；

当时，，原不等式的解集为.12分

5．(1)75人；

(2)m的最大值为7，50人.

【详解】（1）解：依题意可得调整后研发人员有人，年人均投入为万元，

则，解得.

答：调整后的技术人员最多有75人.4分

（2）解：由题得，

得，整理得，7分

因为，9分

当且仅当，即时等号成立，所以.12分

答：的最大值为7，此时技术人员有50人数。

6．（Ⅰ）数对是的“友好数对”；（Ⅱ）数对不是的“友好数对”；（Ⅲ）；.

【详解】（Ⅰ）对于数对，

将表中第一行填入能被整除的自然数，

第二行填入被整除余的自然数，

第三行填入被整除余的自然数，

对于任意，，，必分别在表格的不同行，

故数对是的“友好数对”.3分

（Ⅱ）对于数对，

假设数对是的“友好数对”，

令，则，，

此时互不同行，

令，则，，

此时互不同行，

因为与互不同行，则必与或同行，

令，则，，

此时互不同行，

令，则，，

此时互不同行，

即不与、同行，故假设不成立，

则数对不是的“友好数对”.6分

（Ⅲ）存在满足题意的，

令，则，，

此时将数表中的第一行填入被整除余的数，

第二行依次填入被整除余的数，

第三行依次填入被整除余的数，

在此表中，差为或的两个数不可能在同一行，

此时对于任意，

在以及除以的余数中，

较大数与任意较小数之差必为或，

若按表中方法填入式，

任意两数均不可能在同一行，

则以及比不同行，

故满足题意，

此时表格的填法如下：

第一行…

第二行…

第三行