新教材2023-2024学年高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则分层作业北师大版选择性必修第二册

4.1导数的加法与减法法则~4.2导数的乘法与除法法则A级必备知识基础练1.[2023江西高二校联考期中]衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f'(x))2)32.A.31000 B.3100 C.302.函数f(x)=xcosx-sinx的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数3.(多选题)[2023安徽合肥工业大学附属中学联考期中]下列选项正确的是()A.y=ln2,则y'=1B.f(x)=1x2,则f'(3)C.(x3ex)'=3x2ex+x3exD.2sinxx4.(多选题)[2023河南南阳高二统考期中]若f(x)=cosx+2xf'π6,则(A.f'π6=-12 B.C.f'π3=1-32 D.f'π3=5.已知函数f(x)=f'π4cosx+sinx,则fπ4的值为.

6.求下列函数的导数:(1)f(x)=(1+sinx)(1-4x);(2)f(x)=xx+1-2x(x≠(3)y=x·tanx.B级关键能力提升练7.设曲线f(x)=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则aA.2 B.12 C.-12 D.8.(多选题)[2023广东广州花都圆玄中学校考期中]已知函数f(x)=x+4x+2,则(A.f(x)的值域为[6,+∞)B.直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线C.f(x-1)图象的对称中心为(1,2)D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根9.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)-3f'(3)=()A.1 B.0 C.2 D.410.(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值可以是()A.1 B.164 C.132 D.11.(多选题)[2023江苏连云港高二校考期末]关于切线,下列结论正确的是()A.过点-12,32且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x-B.过点(1,2)且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+1=0C.过点(0,-1)且与曲线f(x)=xlnx相切的直线l的方程为x-y+1=0D.曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为12.曲线y=lnx+1在点(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=.

13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则这个图象的序号是,f(-1)=14.已知函数y=x2lnx.(1)求这个函数的图象在x=1处的切线方程;(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数图象相切,求l的方程.15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.C级学科素养创新练16.(1)若函数f(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2021)(x-2022),则f'(2021)=()A.-2 B.-1C.0 D.1(2)设函数y=f″(x)是y=f'(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-72,则f12022+f22022+f32022+…+f2021A.2021 B.2021C.2022 D.4021

参考答案§4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则~4.2导数的乘法与除法法则1.D因为f(x)=3lnx,所以f'(x)=3x,f″(x)=-3所以f'(1)=3,f″(1)=-3,所以K=|f″(1)|故选D.2.Bf'(x)=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令F(x)=-xsinx,x∈R,则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),∴f'(x)是偶函数.3.BC对于A,y=ln2,则y'=0,故A错误;对于B,f(x)=1x2=x-2,则f'(x)=-2x3,f'(3)=-227对于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正确;对于D,2sinxx2'=(2sinx故选BC.4.BC由f(x)=cosx+2xf'π6可得f'(x)=-sinx+2f'π令x=π6,则f'π6=-sinπ6+2解得f'π6=sinπ6=12,故所以f'(x)=-sinx+1,令x=π3,则f'π3=-sinπ3+1=-32+1,故C正确,D不正确5.1∵f'(x)=-f'π4sinx+cosx,∴f'π4=-f'π4×22+2解得f'π4=2-1,∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴fπ4=1.6.解(1)f'(x)=(1+sinx)'(1-4x)+(1+sinx)(1-4x)'=cosx(1-4x)-4(1+sinx)=cosx-4xcosx-4-4sinx.(2)f(x)=xx+1-2x=1-1x+1则f'(x)=1(x+1)2-2xln2((3)y'=(x·tanx)'=xsin=(=(=sinx7.D∵f(x)=x+1x-1=∴f'(x)=-2(x-1)2(x≠1),∴-a×-12=-1,即a=-2.8.BCD对A,当x>0时,f(x)=x+4x+2≥2x·4x+2=4+2=6,当且仅当x=2时等号成立,当x<0时,f(x)=x+4x+2≤-2-x·4-x+2=-4+2=-对B,令f'(x)=1-4x2=-3,得x=±1,当x=1时,f(1)=7,所以图象在点(1,7)处的切线方程是y-7=-3(x-1),得3x+y-10=0,当x=-1时,f(-1)=-3,所以图象在点(-1,-3)处的切线方程是y+3=-3(x+1),得3x+y+6=0,故B对C,y=x+4x的对称中心是(0,0),所以f(x)=x+4x+2的对称中心是(0,2),向右平移1个单位得f(x-1),对称中心是(1,2),故C对D,f2(x)-5f(x)-14=0,解得f(x)=-2或f(x)=7,若x+4x+2=-2,则(x+2)2=0,解得x=-2,有1个实数根,若x+4x+2=7,解得x=1或x=4,有2个实数根,所以共有3个实数根,故D正确.故选9.A将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程,可得3k+2=1,解得k=-13,所以f'(3)=k=-13,由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,则f(3)=1,对函数g(x)=xf(x)求导可得g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)-3f'(3)=f(3)=1.故选10.AB因为点(0,0)在直线l上,当O(0,0)为f(x)的切点时,因为f'(x)=3x2-6x+2,则f'(0)=2,所以直线l的方程为y=2x,又直线l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,解得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时,设切点为(x0,x03-3x02+2x0则f'(x0)=3x02-6x0所以x03-3x02+2x解得x0=32,所以f'32=-14所以直线l的方程为y=-14由y=-14x,y由题意得Δ=116-4a=0,所以a=1综上得a=1或a=16411.ABD对于A,点-12,32在圆x2+y2=1上,设切线斜率为k,则32-0-12-0×k=-1,所以k=33对于B,设切线斜率为k(k≠0),切线方程为y-2=k(x-1),与y2=4x联立,得k4y2-y+2-k=0,则Δ=1-4×k4×(2-k)=0,解得k=1,所以切线方程为y-2=1×(x-1),即x-y+1=0,B对于C,对f(x)=xlnx求导得f'(x)=lnx+1,设切点为(x0,x0lnx0),切线斜率k=lnx0+1,则lnx0+1=x0lnx0+1x0-0,解得x0=1,切点为(1,0),斜率k=1,所以切线方程为对于D,对y=2x-1x+2求导得y'=5(x+2)2,点(-1,-3)处的切线的斜率k=5(-1+2)2=5,切线方程为y+3=12.-1由y=lnx+1求导可得y'=1x,则曲线y=lnx+1在(1,1)处的切线斜率为1,切线方程为y=x设直线y=x与曲线y=ex+a相切于点(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,于是得et=1,et+13.③-13∵f'(x)=x2+2ax+a2-∴f'(x)的图象开口向上,排除图象②④;又a≠0,∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故f'(x)的图象的序号为③.由图象特征可知,f'(0)=0,∴a2-1=0,且图象的对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f(x)=13x3-x2+则f(-1)=-1314.解(1)令y=f(x),则f(x)=x2lnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2xlnx+x,所以f'(1)=2ln1+1=1.又因为f(1)=0,所以函数在x=1处的切线方程为y=x-1.(2)设切点为(x0,x02lnx由(1)知,f'(x0)=2x0lnx0+x0,又因为直线l的斜率为kl=x02lnx0x有2x0lnx0+x0=x0lnx0,解得x0=e-1,所以kl=x0lnx0=-e-1,所以直线l的方程为y=-1e15.解∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1.∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=52,c=-9∴函数f(x)的解析式为f(x)=52x4-92x2+16.(1)A(2)B(1)令g(x)=(x-2019)(x-2020)(x-2022),则f(x)=(x-2021)·g(x),f'(x)=1·