（人教A版2023选择性必修第一册浙江专用）2023-2024学年高二上学期挑战满分数学冲刺期中测试卷01（测试范围：第1-3章）

第第页（人教A版2023选择性必修第一册，浙江专用）2023-2024学年高二上学期挑战满分数学冲刺期中测试卷01（测试范围：第1-3章）2023-2024学年高二数学上学期期中测试卷01（测试范围：第1-3章）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线的焦点到准线的距离为

A．4B．2C．1D．

2．圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（）

A．B．

C．D．

3．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（）．

A．2B．C．1D．0

4．若直线与直线互相垂直，则的最小值为（）

A．B．3C．5D．

5．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（）

A．B．C．D．

6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）

A．B．C．D．

7．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（）

A．B．C．D．3

8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（）

A．B．C．和D．和

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）

9．下列说法中，正确的是（）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B．过两点的直线方程为

C．过点且与直线相互平行的直线方程是

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）

A．2=2

B．

C．轴，且

D．四边形的内切圆过焦点，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则．

14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是.

16．已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是．

四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知点.

(1)求过点A且与平行的直线方程；

(2)求过点A且与垂直的直线方程；

(3)若中点为，求过点A与的直线方程.

18．已知圆：与圆：.

(1)若圆与圆外切，求实数m的值;

(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.

19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求证：AC⊥BE：

(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.

20．如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．

(1)求的取值范围；

(2)求点的坐标．

21．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．

(1)求证：平面∥平面；

(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．

22．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.

(1)求，的方程：

(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；

(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

知识点补充题．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．设曲线C上任意一点满足（且）．

(1)求曲线C的方程，并指出此曲线的形状；

(2)对的两个不同取值，记对应的曲线为．

（i）若曲线关于某直线对称，求的积；

（ii）若，判断两曲线的位置关系，并说明理由．2023-2024学年高二数学上学期期中测试卷01（测试范围：第1-3章）

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离为

A．4B．2C．1D．

【答案】C

【分析】根据抛物线方程中的几何意义进行求解即可．

【解析】抛物线的焦点到准线的距离为：．

故选：C.

【点睛】本题考查对抛物线方程及对的几何意义的理解，属于基础题．

2．圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化简为标准方程，根据标准方程性质即可得出答案.

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程可知圆的圆心为，半径为.

故选:C

3．已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（）．

A．2B．C．1D．0

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理，由向量共线的条件，列方程求.

【解析】因为与共线，空间的一组基底，

所以，

所以，解得，

所以.

故选：D.

4．若直线与直线互相垂直，则的最小值为（）

A．B．3C．5D．

【答案】C

【分析】由两直线垂直得关系后转化为函数求解，

【解析】因为直线与直线互相垂直，

所以，化简得，

所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，

故选：C

5．在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【解析】平面平面，且为交线，，平面，

平面，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，在Rt中，，

所以，.

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则.

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则.

设二面角的平面角为，

则.

故选：C

6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据离心率及，建立关于的等式即可得解.

【解析】显然离心率，解得，即，

分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，

于是，而，

即，又，因此联立解得，

所以椭圆的方程为.

故选：B

7．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（）

A．B．C．D．3

【答案】A

【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.

【解析】∵抛物线的方程为，

∴，抛物线的准线方程为，

∵方程可化为，

∴过定点，

设，设的中点为，则，因为，为垂足，

∴，所以，

即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

过点作准线的垂线，垂足为，则,

∴,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，

∴，

过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，

∴，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，

所以的最小值为，

故选：A.

8．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（）

A．B．C．和D．和

【答案】C

【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.

【解析】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，

设，其中且，

直线的方程为，纵截距为，

直线的方程为，纵截距为，

依题意有，整理得，

所以在圆上，圆心为，半径为.

则圆与圆有且只有一个公共点，

则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，

当两圆外切或内切时：

圆的圆心为，半径为，

则或，

前者无解，后者解得.

当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，

，将代入，

得.

综上所述，的值为或.

故选：C

【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B．过两点的直线方程为

C．过点且与直线相互平行的直线方程是

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解析】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；

对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；

对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；

对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，

故选：AC．

10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

【答案】ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【解析】圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【分析】以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得相关点，由线面垂直、平行和三棱锥的体积公式和线面角的求法，可得结论．

【解析】在正方体中，平面，，

则以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正方体的棱长为1，则，，，，，，

对于A，，，，

因为，，

即，，

又，且平面，平面，

所以直线平面，故A正确；

对于B，在正方体中，，

又平面，平面，可得平面，

点在线段上运动，所以点到平面的距离即为到平面的距离，也即为点到平面的距离，且为定值，而的面积为定值，

则三棱锥的体积为定值，故B正确；

对于C，，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知为等边三角形，当为的中点时，；

当与点或重合时，直线与直线的夹角为；故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；

对于D，设，，由A选项正确，可知是平面的一个法向量，

直线与平面所成角的正弦值为：，

当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．

故选：ABD．

12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）

A．2=2

B．

C．轴，且

D．四边形的内切圆过焦点，

【答案】BD

【分析】对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．

【解析】,由条件得到，即或（舍，解得：，所以不正确；

,若，则由射影定理可得：，

即，所以，即，，

解得；所以正确；

，若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，

所以，所以不正确；

，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，

圆心到直线的距离等于，

因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，

由题意知：，又，整理得：，，，

解得，

所以，所以正确，

故选：．

三、填空题

13．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则．

【答案】4

【分析】根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值.

【解析】因为椭圆的焦点在x轴上且焦距为4，

所以，

解得.

故答案为：4.

14．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为

【答案】

【分析】结合圆心到直线的距离以及半径求得正确答案.

【解析】圆心，半径，

圆心到直线的距离等于，

故圆上的动点到直线的距离的最小值为．

故答案为：

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是.

【答案】

【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合点又在渐近线上，故渐近线和圆要有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得离心率的取值范围.

【解析】设，则，化简得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，又因为点在双曲线的渐近线上，所以渐近线与圆有公共点，所以，解得，即，所以双曲线离心率的取值范围是.

【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆、直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

16．已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是．

【答案】

【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.

【解析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则，

由可设，由是单位空间向量可得，

由可设，

，

当，的最小值是2，所以，取，

，

，

当时，最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知点.

(1)求过点A且与平行的直线方程；

(2)求过点A且与垂直的直线方程；

(3)若中点为，求过点A与的直线方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出的斜率，利用点斜式求直线即可；

（2）求出与垂直的直线的斜率，利用点斜式求解即可；

（3）利用中点公式求解中点坐标，再确定两点斜率利用点斜式求解即可.

【解析】（1）解：∵，

∴过点A且与平行的直线方程为，即；

（2）解：过点A且与垂直的直线的斜率为，

所以所求直线方程为，即；

（3）解：中点，

∴过点A与的直线方程，即.

18．已知圆：与圆：.

(1)若圆与圆外切，求实数m的值;

(2)在(1)的条件下，若直线l过点(2，1)，且与圆的相交弦长为，求直线l的方程.

【答案】(1)m=5

(2)或

【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；

（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.

【解析】（1）圆：，则，半径r1=1，

由圆：，得，

则，半径.∵圆与圆外切，

∴，∴，解得m=5.

（2）由(1)得m=5，圆的方程为，

则，r2=2.由题意可得圆心到直线l的距离，

当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意;

当直线l斜率为k时，则直线方程为，

化为一般形式为，则圆心(3，0)到直线l的距离，

解得k=0，得直线方程为y=1.

综上，直线l的方程为或.

19．已知几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四边形ABCD是边长为4的菱形.∠BCD=60°，四边形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.

(1)求证：AC⊥BE：

(2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，进而证明出AC⊥BD；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦.

【解析】（1）连接BD，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，

因为平面ABCD⊥平面CDEF，交线为CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，

所以ED⊥平面ABCD，

因为AC平面ABCD，

所以ED⊥AC，

因为BDED=D，

所以AC⊥平面BDE，

因为BE平面BDE，

所以AC⊥BD

（2）取BC的中点G，连接DG，BD，

因为∠BCD=60°，四边形ABCD是边长为4的菱形，

所以DG⊥BC，因为AD∥BC，所以DG⊥AD，

以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DG所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面BCF的法向量为，

则，解得：，令，

则，

平面ADE的法向量为，

设平面ADE与平面BCF所成角为，显然为锐角，

则

20．如图，已知抛物线与圆交于四点，直线与直线相交于点．

(1)求的取值范围；

(2)求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）抛物线方程联立圆的方程消元，利用根与系数的关系和判别式可解；

（2）利用韦达定理可得，由直线和斜率相等可解.

【解析】（1）圆的方程可化为．

将抛物线的方程代入圆的方程有整理得，

由题意可知有两个正根，

所以解得，

故的取值范围为；

（2）设点的坐标分别为，

由对称性可知，点在轴上，设点的坐标为，

由（1）可知，得，

所以，

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，即，

所以，可得，

又由，有，

故点的坐标为．

21．四棱柱中，底面为正方形，面，点M，N，Q分别为棱的中点．

(1)求证：平面∥平面；

(2)若，棱上存在点P，使得二面角的余弦值为，求的值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明分别与面平行，再由面面平行的判定定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【解析】（1）∵分别为棱中点，

，，

四边形MQBD为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面，

∵N为棱AD的中点，，

又，，

∵平面，平面，

平面.

又，平面，

平面∥平面.

（2）由题意知两两垂直，以为原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

设（），，

则，

故，，

设，则由可得，，

则

设平面的一个法向量为，则，

取，则，

设平面MNQ的一个法向量为，则，

取，则，

由题知，

解得或（与矛盾，舍去），

故，即.

22．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有公共顶点，且的短轴长为2，的一条渐近线为.

(1)求，的方程：

(2)设是椭圆上任意一点，判断直线与椭圆的公共点个数并证明；

(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线，切点为、，求证：直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.

【答案】(1)，

(2)只有一个公共点，证明见解析

(3)证明见解析